(1) 整数 $n$ が3の倍数でないとき、$n^2 - 1$ が3の倍数であることを証明する。 (2) $n^4 + 2n^3 - 3n^2$ が4の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 整数 $n$ が3の倍数でないとき、$n^2 - 1$ が3の倍数であることを証明する。

(2) $n^4 + 2n^3 - 3n^2$ が4の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n$ が3の倍数でないとき、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ (kは整数) と表せる。

- $n = 3k+1$ のとき、$n^2 - 1 = (3k+1)^2 - 1 = 9k^2 + 6k + 1 - 1 = 9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$。

$3k^2+2k$ は整数なので、$n^2-1$ は3の倍数である。

- $n = 3k+2$ のとき、$n^2 - 1 = (3k+2)^2 - 1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$。

$3k^2+4k+1$ は整数なので、$n^2-1$ は3の倍数である。

いずれの場合も $n^2-1$ は3の倍数である。

(2) $n^4 + 2n^3 - 3n^2 = n^2(n^2 + 2n - 3) = n^2(n+3)(n-1) = (n-1)n^2(n+3)$

- $n$ が偶数のとき、$n = 2k$ (kは整数) と表せる。

$n^4 + 2n^3 - 3n^2 = (2k-1)(2k)^2(2k+3) = 4k^2(2k-1)(2k+3)$

$k^2(2k-1)(2k+3)$ は整数なので、$n^4 + 2n^3 - 3n^2$ は4の倍数である。

- $n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ (kは整数) と表せる。

$n^4 + 2n^3 - 3n^2 = (2k+1-1)(2k+1)^2(2k+1+3) = 2k(2k+1)^2(2k+4) = 4k(2k+1)^2(k+2)$

$k(2k+1)^2(k+2)$ は整数なので、$n^4 + 2n^3 - 3n^2$ は4の倍数である。

いずれの場合も $n^4 + 2n^3 - 3n^2$ は4の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $n$ が3の倍数でないならば、$n^2-1$ は3の倍数である。(証明終わり)

(2) $n^4 + 2n^3 - 3n^2$ は4の倍数である。(証明終わり)