(1) $m$ と $n$ が自然数のとき、方程式 $mn + 5m + 6n = 33$ を満たす $m$ と $n$ の組 $(m, n)$ をすべて求めよ。 (2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ となる自然数の組 $(x, y)$ で、$x \geq y$ を満たすものをすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) $m$ と $n$ が自然数のとき、方程式 $mn + 5m + 6n = 33$ を満たす $m$ と $n$ の組 $(m, n)$ をすべて求めよ。

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ となる自然数の組 $(x, y)$ で、$x \geq y$ を満たすものをすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$mn + 5m + 6n = 33$ を変形して、$m$ と $n$ の積の形を作ります。

$mn + 5m + 6n + 30 = 33 + 30$

$m(n+5) + 6(n+5) = 63$

$(m+6)(n+5) = 63$

$m$ と $n$ は自然数なので、$m+6$ と $n+5$ はともに7以上の自然数です。

63を2つの自然数の積で表すと、$63 = 1 \times 63 = 3 \times 21 = 7 \times 9 = 9 \times 7 = 21 \times 3 = 63 \times 1$です。

このうち、$m+6$ と $n+5$ がともに7以上になるのは、$7 \times 9$ と $9 \times 7$ の場合のみです。

したがって、$m+6 = 7$ かつ $n+5 = 9$ または $m+6 = 9$ かつ $n+5 = 7$ です。

$m+6 = 7$ のとき、$m = 1$ であり、$n+5 = 9$ のとき、$n = 4$ です。

$m+6 = 9$ のとき、$m = 3$ であり、$n+5 = 7$ のとき、$n = 2$ です。

よって、$(m, n) = (1, 4), (3, 2)$ が解となります。

(2)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ の両辺に $3xy$ を掛けると、

$3y + 3x = xy$

$xy - 3x - 3y = 0$

$xy - 3x - 3y + 9 = 9$

$(x-3)(y-3) = 9$

$x$ と $y$ は自然数なので、$x-3$ と $y-3$ はともに整数です。

また、$x \geq y$ より $x-3 \geq y-3$ です。

9を2つの整数の積で表すと、$9 = 1 \times 9 = 3 \times 3 = (-1) \times (-9) = (-3) \times (-3)$ です。

$x-3 \geq y-3$ を満たすのは、$(x-3, y-3) = (9, 1), (3, 3), (-1, -9), (-3, -3)$ の場合です。

$(x-3, y-3) = (9, 1)$ のとき、$x = 12, y = 4$ です。

$(x-3, y-3) = (3, 3)$ のとき、$x = 6, y = 6$ です。

$(x-3, y-3) = (-1, -9)$ のとき、$x = 2, y = -6$ ですが、$y$ が自然数でないので不適です。

$(x-3, y-3) = (-3, -3)$ のとき、$x = 0, y = 0$ ですが、$x$ と $y$ が自然数でないので不適です。

よって、$(x, y) = (12, 4), (6, 6)$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $(m, n) = (1, 4), (3, 2)$

(2) $(x, y) = (12, 4), (6, 6)$