画像に書かれている問題は、「$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$ のとき、$r$が$\frac{2}{\sqrt{5}}$より小さければ$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$が2より小さいと、なぜ分かるのですか？」というものです。

1. 問題の内容

画像に書かれている問題は、「$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$ のとき、$r$が$\frac{2}{\sqrt{5}}$より小さければ$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$が2より小さいと、なぜ分かるのですか？」というものです。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$ という条件から $r$ の値を求めます。

両辺を2乗すると、

$$\frac{r^2}{1-r^2} = 4$$

$r^2$ について解くと、

$$r^2 = 4(1-r^2) = 4 - 4r^2$$

$$5r^2 = 4$$

$$r^2 = \frac{4}{5}$$

$$r = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

ここで、$r$ は正である必要があることに注意してください（$\sqrt{1-r^2}$ が実数であるためには $1-r^2 \geq 0$ であり、$\sqrt{1-r^2}$が分母にあるので $1-r^2 > 0$ つまり $r^2 < 1$ が必要。また$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2 > 0$ なので、$r>0$）。

したがって、$r = \frac{2}{\sqrt{5}}$ です。

次に、関数 $f(r) = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ が $0 < r < 1$ の範囲で単調増加関数であることを示します。

$f(r)$ の導関数を求めます。

$$f'(r) = \frac{\sqrt{1-r^2} - r \cdot \frac{-2r}{2\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = \frac{\sqrt{1-r^2} + \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = \frac{1-r^2 + r^2}{(1-r^2)\sqrt{1-r^2}} = \frac{1}{(1-r^2)^{3/2}}$$

$0 < r < 1$ の範囲では $f'(r) > 0$ であるため、$f(r)$ は単調増加関数です。

したがって、$r < \frac{2}{\sqrt{5}}$ ならば、$f(r) = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} < f(\frac{2}{\sqrt{5}}) = 2$ となります。

つまり、$r$ が $\frac{2}{\sqrt{5}}$ より小さければ、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ は2より小さくなります。

3. 最終的な答え

$r$ が $\frac{2}{\sqrt{5}}$ より小さいとき、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ は $r$ に関して単調増加な関数なので、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ は2より小さくなります。