関数 $f(r) = \frac{1}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}}$ がなぜ単調増加関数であるのかを説明する。

1. 問題の内容

関数 $f(r) = \frac{1}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}}$ がなぜ単調増加関数であるのかを説明する。

2. 解き方の手順

まず、$f(r)$の定義域を考える。分母が0にならないように、$1-r^2 > 0$ である必要がある。よって、$r^2 < 1$ より、$-1 < r < 1$ が定義域となる。 通常、$r$ は距離を表す変数であるため、$0 \le r < 1$ の範囲で考えるのが妥当と考えられる。

次に、$f(r)$の微分を計算し、その符号を調べる。

$f(r) = (1-r^2)^{-\frac{3}{2}}$ であるから、微分は以下のようになる。

$f'(r) = -\frac{3}{2}(1-r^2)^{-\frac{5}{2}} \cdot (-2r)$

$f'(r) = 3r(1-r^2)^{-\frac{5}{2}}$

$f'(r) = \frac{3r}{(1-r^2)^{\frac{5}{2}}}$

定義域である $0 \le r < 1$ において、$1-r^2 > 0$ であり、$r \ge 0$ であるから、$f'(r) \ge 0$ である。

$f'(r) = 0$ となるのは $r=0$ のときのみなので、$r>0$ では $f'(r) > 0$。

したがって、$0 \le r < 1$ の範囲で、$f(r)$は単調増加関数である。

結論として、$r$ が増加すると、$1-r^2$ は減少し、$(1-r^2)^{\frac{3}{2}}$ も減少する。そのため、$f(r) = \frac{1}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}}$ は増加する。

3. 最終的な答え

関数 $f(r) = \frac{1}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}}$ の導関数は $f'(r) = \frac{3r}{(1-r^2)^{\frac{5}{2}}}$ であり、定義域 $0 \le r < 1$ において $f'(r) \ge 0$ であるため、単調増加関数である。特に、$r > 0$ では $f'(r) > 0$ である。