問題は、$ \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2 $ のとき、$r$ が $ \frac{2}{\sqrt{5}} $ より大きければ、$ \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} $ が 2 より大きくなるのはなぜかを問うています。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$ のとき、$r$ が $\frac{2}{\sqrt{5}}$ より大きければ、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ が 2 より大きくなるのはなぜかを問うています。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$ のとき、$r$ の値を求めます。両辺を2乗すると、

$$\frac{r^2}{1-r^2} = 4$$

これを変形して、

$$r^2 = 4(1-r^2)$$

$$r^2 = 4 - 4r^2$$

$$5r^2 = 4$$

$$r^2 = \frac{4}{5}$$

$$r = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

ここで、$r > \frac{2}{\sqrt{5}}$ であると仮定します。このとき、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 2$ となることを示します。

関数 $f(r) = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ を考えます。$r$ が増加すると、$f(r)$ も増加することを示します。$f(r)$ の導関数を計算します。

$$f'(r) = \frac{\sqrt{1-r^2} - r \cdot \frac{-2r}{2\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = \frac{\sqrt{1-r^2} + \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = \frac{1-r^2+r^2}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}}$$

$0 < r < 1$ の範囲で、$f'(r) > 0$ であるため、$f(r)$ は単調増加関数です。したがって、$r > \frac{2}{\sqrt{5}}$ ならば、$f(r) > f(\frac{2}{\sqrt{5}}) = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$ のとき、$r = \frac{2}{\sqrt{5}}$ です。$f(r) = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ は単調増加関数であるため、$r$ が $\frac{2}{\sqrt{5}}$ より大きければ、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ は 2 より大きくなります。