自然数 $n$ に対して、次の等式を数学的帰納法によって証明せよ。 $1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1}{2}(3^n - 1)$

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、次の等式を数学的帰納法によって証明せよ。

$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1}{2}(3^n - 1)$

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

左辺は $1$ であり、右辺は $\frac{1}{2}(3^1 - 1) = \frac{1}{2}(3-1) = \frac{1}{2}(2) = 1$ である。よって、$n=1$ のとき、等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1} = \frac{1}{2}(3^k - 1)$

が成り立つと仮定する。

$n = k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。

$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1} + 3^k$

$= \frac{1}{2}(3^k - 1) + 3^k$ (帰納法の仮定)

$= \frac{1}{2}3^k - \frac{1}{2} + 3^k$

$= \frac{1}{2}3^k + \frac{2}{2}3^k - \frac{1}{2}$

$= \frac{3}{2}3^k - \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}(3 \cdot 3^k - 1)$

$= \frac{1}{2}(3^{k+1} - 1)$

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1), (2) より、すべての自然数 $n$ に対して、等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1}{2}(3^n - 1)$ が成り立つ。