Oを原点とする座標空間に3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)がある。平面OABに関して点Cと対称な点をDとする。 (1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ と三角形OABの面積を求める。 (2) 実数s, t, uを用いて、$\overrightarrow{OD} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ の形で表す。平面OABに関して点Dと点Cは対称であることから、u, $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OB}$, s, tを求める。 (3) 点Cと点Dの間の距離と、四面体OABCの体積を求める。 (4) 三角形ABCの面積と、三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。 (5) 4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心のz座標と半径を求める。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標空間に3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)がある。平面OABに関して点Cと対称な点をDとする。

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ と三角形OABの面積を求める。

(2) 実数s, t, uを用いて、$\overrightarrow{OD} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ の形で表す。平面OABに関して点Dと点Cは対称であることから、u, $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OB}$, s, tを求める。

(3) 点Cと点Dの間の距離と、四面体OABCの体積を求める。

(4) 三角形ABCの面積と、三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。

(5) 4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心のz座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OA} = (1, -1, 0)$

$\overrightarrow{OB} = (1, 1, 4)$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 1 - 1 + 0 = 0$

三角形OABの面積は、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2 |\overrightarrow{OB}|^2 - (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(1^2 + (-1)^2 + 0^2)(1^2 + 1^2 + 4^2) - 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 18} = \frac{1}{2} \sqrt{36} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(2)

点CとDは平面OABに関して対称なので、$u = -1$

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OC} = (s - 2 \cdot 4, -s + 2t - 2 \cdot 3, 4t - 2 \cdot 5)$

$\overrightarrow{CD} = (s-8, -s+t-6, 4t-10)$

$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OA} = (s-8) \cdot 1 + (-s+t-6) \cdot (-1) + (4t-10) \cdot 0 = s - 8 + s - t + 6 = 2s - t - 2 = 0$

$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OB} = (s-8) \cdot 1 + (-s+t-6) \cdot 1 + (4t-10) \cdot 4 = s - 8 - s + t - 6 + 16t - 40 = 17t - 54 = 0$

$17t = 54$

$t = \frac{54}{17}$

$2s - \frac{54}{17} - 2 = 0$

$2s = \frac{54}{17} + 2 = \frac{54 + 34}{17} = \frac{88}{17}$

$s = \frac{44}{17}$

$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$

$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

$u = -1, s = \frac{44}{17}, t = \frac{54}{17}$

(3)

$\overrightarrow{OC} = (4, 3, 5)$

$\overrightarrow{OD} = \frac{44}{17}(1, -1, 0) + \frac{54}{17}(1, 1, 4) - (4, 3, 5) = (\frac{44}{17} + \frac{54}{17} - 4, -\frac{44}{17} + \frac{54}{17} - 3, \frac{216}{17} - 5)$

$\overrightarrow{OD} = (\frac{98 - 68}{17}, \frac{10 - 51}{17}, \frac{216 - 85}{17}) = (\frac{30}{17}, -\frac{41}{17}, \frac{131}{17})$

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = (\frac{30}{17} - 4, -\frac{41}{17} - 3, \frac{131}{17} - 5) = (\frac{30 - 68}{17}, \frac{-41 - 51}{17}, \frac{131 - 85}{17}) = (-\frac{38}{17}, -\frac{92}{17}, \frac{46}{17})$

$CD = |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-\frac{38}{17})^2 + (-\frac{92}{17})^2 + (\frac{46}{17})^2} = \frac{\sqrt{38^2 + 92^2 + 46^2}}{17} = \frac{\sqrt{1444 + 8464 + 2116}}{17} = \frac{\sqrt{12024}}{17} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3006}}{17} = \frac{2 \sqrt{3006}}{17}$

平面OABの法線ベクトル $\vec{n} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (1, -1, 0) \times (1, 1, 4) = (-4, -4, 2) = -2(2, 2, -1)$

四面体OABCの体積 $V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC}| = \frac{1}{6} |(-4, -4, 2) \cdot (4, 3, 5)| = \frac{1}{6} |-16 - 12 + 10| = \frac{1}{6} |-18| = 3$

(4)

$\overrightarrow{AB} = (0, 2, 4)$

$\overrightarrow{AC} = (3, 4, 5)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (8 - 16, 12 - 0, 0 - 6) = (-8, 12, -6)$

三角形ABCの面積 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-8)^2 + 12^2 + (-6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 144 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 61} = \sqrt{61}$

四面体OABCの体積は3なので、高さ $h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 3}{\sqrt{61}} = \frac{9}{\sqrt{61}} = \frac{9 \sqrt{61}}{61}$

(5)

4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心をP(x, y, z)とする。

球面の中心は線分CDの中点を通るので, Pは平面OABに関して線分CDの中点を通る。

線分CDの中点Mは $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{1}{2} ((4, 3, 5) + (\frac{30}{17}, -\frac{41}{17}, \frac{131}{17})) = (\frac{34+30}{34}, \frac{51 - 41}{34}, \frac{85+131}{34}) = (\frac{64}{34}, \frac{10}{34}, \frac{216}{34}) = (\frac{32}{17}, \frac{5}{17}, \frac{108}{17})$

中心Pは M + s(2, 2, -1) の形となる。 M + s(2, 2, -1) = P

球の中心Pのz座標は $\frac{108}{17}$

$PA^2 = PB^2 = PC^2 = PD^2 = R^2$

$0, 3, \frac{2\sqrt{3006}}{17}, \frac{9 \sqrt{61}}{61}$

3. 最終的な答え

(1) 0, 3

(2) -1, 0, 0, 44/17, 54/17

(3) $\frac{2\sqrt{3006}}{17}$, 3

(4) $\sqrt{61}, \frac{9\sqrt{61}}{61}$

(5) $\frac{108}{17}$