$n$ を自然数とするとき、$11^n - 1$ が $10$ の倍数であることを数学的帰納法によって証明する。

## 問題75

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$11^n - 1$ が $10$ の倍数であることを数学的帰納法によって証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

$11^1 - 1 = 11 - 1 = 10$ であり、$10$ は $10$ の倍数であるから、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=k$ のとき成り立つと仮定する。

すなわち、$11^k - 1 = 10m$ ($m$ は整数) と仮定する。

(3) $n=k+1$ のときを考える。

$11^{k+1} - 1 = 11 \cdot 11^k - 1$

ここで、$11^k = 10m + 1$ (仮定より) なので、

$11^{k+1} - 1 = 11(10m + 1) - 1 = 110m + 11 - 1 = 110m + 10 = 10(11m + 1)$

$11m + 1$ は整数なので、$10(11m+1)$ は $10$ の倍数である。したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(1), (2), (3) より、すべての自然数 $n$ に対して、$11^n - 1$ は $10$ の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$11^n - 1$ は $10$ の倍数である。

## 問題76

1. 問題の内容

$n \geq 5$ を満たす自然数 $n$ に対して、$2^n > n^2$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=5$ のとき

$2^5 = 32$, $5^2 = 25$ なので、$2^5 > 5^2$ が成り立つ。

(2) $n=k$ ($k \geq 5$) のとき成り立つと仮定する。

すなわち、$2^k > k^2$ と仮定する。

(3) $n=k+1$ のときを考える。

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2$ (仮定より)

ここで、$2k^2 > (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$ を示す必要がある。

すなわち、$k^2 - 2k - 1 > 0$ を示す。

$k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2$

$k \geq 5$ より、$k-1 \geq 4$ なので、$(k-1)^2 \geq 16$。

したがって、$(k-1)^2 - 2 \geq 16 - 2 = 14 > 0$

よって、$k^2 - 2k - 1 > 0$ であるから、$2k^2 > (k+1)^2$ が成り立つ。

したがって、$2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ より、$2^{k+1} > (k+1)^2$ が成り立つ。つまり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(1), (2), (3) より、$n \geq 5$ を満たすすべての自然数 $n$ に対して、$2^n > n^2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n \geq 5$ を満たすすべての自然数 $n$ に対して、$2^n > n^2$ が成り立つ。