自然数 $a, b$ を用いて $x = 3a + 8b$ と表すことのできない最大の自然数 $x$ を求め、また、$x = 3a + 8b$ ($a, b$ は自然数) と表すことのできない自然数 $x$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $a, b$ を用いて $x = 3a + 8b$ と表すことのできない最大の自然数 $x$ を求め、また、$x = 3a + 8b$ ($a, b$ は自然数) と表すことのできない自然数 $x$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = 3a + 8b$ (ただし、$a, b$ は自然数) と表せない最大の整数を求めます。一般に、$a, b$ が自然数の場合、この問題はフロベニウスの硬貨問題と呼ばれます。

$x = 3a + 8b$ ($a, b \geq 1$ の整数) と表せない最大の整数を求めるには、$a, b \geq 0$ (非負整数) の場合の最大の整数を求め、そこから調整します。

$3$ と $8$ は互いに素なので、非負整数 $a, b$ を用いて $3a + 8b$ で表せない最大の整数は $3 \times 8 - 3 - 8 = 24 - 11 = 13$ です。

$a, b \geq 1$ の場合は、 $3a + 8b = 3(a' + 1) + 8(b' + 1) = 3a' + 8b' + 3 + 8 = 3a' + 8b' + 11$ （ただし、$a' = a - 1, b' = b - 1$ なので、$a', b' \geq 0$）と表せます。よって、$3a + 8b$ ($a, b \geq 1$) で表せない最大の整数は、$13 + 11 = 24$ ではありません。

$3a + 8b$ で表せない最大の整数を $N$ とすると、$N + 11 = 3a' + 8b'$ で表せる必要があります。

$x = 3a + 8b$ (ただし、$a, b$ は自然数) と表せない最大の整数は、$3$ と $8$ が互いに素であることから、

$3 \times 8 - 3 - 8 = 24 - 11 = 13$ は、$a, b$ が非負整数の場合の $3a+8b$ で表せない最大の整数です。

$3a + 8b = n$ と表せるためには、$a \geq 1, b \geq 1$ でなければなりません。

したがって、$3(a' + 1) + 8(b' + 1) = n$ とすると、$3a' + 8b' + 11 = n$ となり、$a', b' \geq 0$ です。

$3a + 8b$ ($a, b \geq 1$) で表せない最大の整数を求めます。

$n$が、$3a+8b$ (a,bは自然数) で表せるとします。$n+3 = 3(a+1)+8b$ と表せます。同様に、$n+8=3a+8(b+1)$と表せます。

$n=3a+8b$と表せない数字を小さい順に並べると、$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22$などが表せません。

一方、$21=3*1+8*2+4,23,25,26,27,28,29,30,31,32,34,35$

$a, b \geq 1$ なので、 $3a + 8b \geq 3 + 8 = 11$ です。$14 = 3*2 + 8*1$

$17 = 3*3 + 8*1$

$19 = 3*1 + 8*2$

$20=3*4+8*1$

$22=3*2+8*2$

$x = 3a + 8b$ で表せないのは、$1,2,4,5,7,10,13,16,19$ があります。$n=2a+5b$ で表せないのは、$1,3$ です。

$x = 3a + 8b$で表せない最大の整数は、$13$です。

$a, b$ が自然数なので、$x = 3a+8b$ で表せないのは、$1,2,4,5,7,10,13$ だけではなく、$3,6,9,12$などもダメです。

$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...$

表せる数：$11 = 3 + 8, 12 = 3 * 4, 14 = 3 * 2 + 8, 15 = 3 * 5, 16 = 8 * 2, 17 = 3 * 3 + 8, 18 = 3 * 6, 19 = 3 + 8 * 2, 20 = 3 * 4 + 8, 21 = 3 * 7, 22 = 3 * 2 + 8 * 2 = 14+8$

表せない数：$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 16, 19$

$1, 2, 4, 5, 7, 10, 13$ です。表せない最大の整数は、13です。

表せない数の個数を求めます。

表せる数は、最小で$11$から始まります。$11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19,...$と続いていきます。

$13$以下の表せない数は、$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13$ です。

表せない数は、$1, 2, 4, 5, 7, 10, 13$ です。

したがって、表せない数の個数は、7です。

3. 最終的な答え

最大の自然数 $x$ は $13$ である。

表すことのできない自然数 $x$ は $7$ 個ある。