自然数 $a, b$ を用いて $x = 3a + 8b$ と表すことのできない最大の自然数 $x$ を求め、さらに、$a, b$ が自然数であるとき、$x = 3a + 8b$ と表すことのできない自然数 $x$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $a, b$ を用いて $x = 3a + 8b$ と表すことのできない最大の自然数 $x$ を求め、さらに、$a, b$ が自然数であるとき、$x = 3a + 8b$ と表すことのできない自然数 $x$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

（１）$a, b$ が非負整数（0を含む整数）の場合

$3a + 8b$ で表せない最大の整数は、一般に $m$ と $n$ が互いに素な自然数のとき、$mn - m - n$ で表されます。したがって、$3 \times 8 - 3 - 8 = 24 - 11 = 13$ が $3a + 8b$ で表せない最大の整数です。

（２）$a, b$ が自然数の場合

$x = 3a + 8b$ ($a, b$ は自然数)と表せない自然数の個数を求めます。

$x = 3a + 8b = 3(a' + 1) + 8(b' + 1) = 3a' + 8b' + 3 + 8 = 3a' + 8b' + 11$ （$a', b'$ は非負整数）と変形します。

$x$ が$3a + 8b$ で表せないとき、$x-11$ は $3a' + 8b'$ で表せないことになります。$3a+8b$ で表せない自然数を小さい順に列挙し、$x-11$ が表せないかどうかを調べます。

$3a + 8b$ で表せない自然数は、1, 2, 4, 5, 7, 10, 13です。

$a, b$ が自然数なので、$3a + 8b$ で表せない自然数は

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...$

$a, b$ が自然数なので、$x$ は $3a + 8b \geq 3+8 = 11$ を満たします。

したがって、$x < 11$ の場合を考えます。$x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ は明らかに $3a+8b$ （$a,b$ は自然数）で表せません。

$x=11$とすると、$3a+8b=11$ を満たす自然数$a,b$は存在しません。

$x=12$とすると、$3a+8b=12$ を満たす自然数$a,b$は存在しません。

$x=13$とすると、$3a+8b=13$ を満たす自然数$a,b$は存在しません。

$x=14$とすると、$3a+8b=14$ を満たす自然数$a,b$は存在しません。

$x=15$とすると、$3a+8b=15$ を満たす自然数$a=1, b=3/4$存在しない，$3a+8b=15$を満たす自然数$a=5, b=0$ は存在しないのでだめです。

$x=16$とすると、$3a+8b=16$ を満たす自然数$a,b$は存在しません。

$x=17$とすると、$3a+8b=17$ を満たす自然数$a=3,b=1$が存在します。

$17=3*3+8*1$,以降の数はすべて表すことができます。

$3a+8b$で表せない自然数は、 $11,12,13,14,15,16$。

したがって、表せない自然数は6個です。

より厳密には、$x = 3a+8b$ ($a,b$ は自然数) と表せない最大の数は$3 \cdot 8 + 3 + 8 = 35$らしいです。

3. 最終的な答え

ア：13

イ：6