次の複素数の式を計算し、最も簡単な形で表してください。 (1) $\frac{1}{2+i}$ (2) $\frac{1}{i^3}$ (3) $\frac{2i}{3-i}$ (4) $\frac{3+i}{1+2i}$

1. 問題の内容

次の複素数の式を計算し、最も簡単な形で表してください。

(1) $\frac{1}{2+i}$

(2) $\frac{1}{i^3}$

(3) $\frac{2i}{3-i}$

(4) $\frac{3+i}{1+2i}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{2+i}$ の場合:

分母の共役複素数 $2-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5}$

したがって、$\frac{1}{2+i} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

(2) $\frac{1}{i^3}$ の場合:

$i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$ であるため、

$\frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i}$

分母の共役複素数 $i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$

したがって、$\frac{1}{i^3} = i$

(3) $\frac{2i}{3-i}$ の場合:

分母の共役複素数 $3+i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2i}{3-i} = \frac{2i}{3-i} \cdot \frac{3+i}{3+i} = \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{6i + 2i^2}{9 - i^2} = \frac{6i + 2(-1)}{9 - (-1)} = \frac{6i - 2}{10} = \frac{-2 + 6i}{10}$

したがって、$\frac{2i}{3-i} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

(4) $\frac{3+i}{1+2i}$ の場合:

分母の共役複素数 $1-2i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{3+i}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{3 - 6i + i - 2i^2}{1 - (2i)^2} = \frac{3 - 5i - 2(-1)}{1 - 4i^2} = \frac{3 - 5i + 2}{1 - 4(-1)} = \frac{5 - 5i}{5}$

したがって、$\frac{3+i}{1+2i} = 1 - i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

(2) $i$

(3) $-\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

(4) $1-i$