一様な弦の一端を電子おんさにつなぎ、他端におもりをつけた弦がある。 弦の長さ $L$、線密度 $\rho$、おもりの質量 $m$、重力加速度 $g$ として、以下の問に答える。 (1) 電子おんさの振動数を0から大きくしていったとき、弦が最初に共鳴するときの波長と振動数を求める。 (2) (1)の振動数を $f$ とする。電子おんさの振動数を $4f$ に固定し、おもりの質量を増やしていくと、再び共鳴する。その時の質量（合計値）を求める。

1. 問題の内容

一様な弦の一端を電子おんさにつなぎ、他端におもりをつけた弦がある。

弦の長さ $L$、線密度 $\rho$、おもりの質量 $m$、重力加速度 $g$ として、以下の問に答える。

(1) 電子おんさの振動数を0から大きくしていったとき、弦が最初に共鳴するときの波長と振動数を求める。

(2) (1)の振動数を $f$ とする。電子おんさの振動数を $4f$ に固定し、おもりの質量を増やしていくと、再び共鳴する。その時の質量（合計値）を求める。

2. 解き方の手順

(1) 弦が最初に共鳴するのは、基本振動のときである。このとき、弦の長さ $L$ は波長の半分に等しい。

$\lambda/2 = L$

したがって、波長 $\lambda$ は

$\lambda = 2L$

弦の張力 $T$ はおもりの重力に等しいので、$T = mg$である。

弦の伝播速度 $v$ は、

$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} = \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

振動数 $f$ は、

$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

(2) 電子おんさの振動数を $4f$ に固定したとき、再び共鳴するのは、$n$ 倍振動のときである。

$4f = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{m'g}{\rho}}$

(1) の結果より

$f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

これを用いると

$4 \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}} = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{m'g}{\rho}}$

$4\sqrt{m} = n\sqrt{m'}$

$16m = n^2 m'$

$m' = \frac{16m}{n^2}$

ただし、$m' > m$ である必要があるので、$n$ の最小値は $n=3$または$n=4$ である。$n=4$ のとき $m'=m$ となり、$n=3$の時、$m'=16m/9 = 1.777...m$ となり増えている。

$n=2$の場合、$m'=4m$となり、振動数 $4f$ は 2 倍振動で共鳴する。

したがって、$n=4$となり、再度共鳴したとき、振動数 $4f$ は 4 倍振動で共鳴する。

$m' = \frac{16m}{n^2} = m$ が成り立つためには$n=4$である必要があり、この時共鳴するためには $n \geq 2$である必要がある。

$4f = \frac{2}{2L}\sqrt{\frac{m''g}{\rho}}$

とおくと、$4 = \frac{m''}{m} \rightarrow m'' = 16m$ となる。

(1)の共鳴から質量を増やして再び共鳴する場合は、電子おんさの振動数を $4f$ に固定しているので、

弦の振動数も $4f$ となる。

基本振動を考えると、$4f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{m_2 g}{\rho}}$

$4 \cdot \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{m_2 g}{\rho}}$

$4 \sqrt{m} = \sqrt{m_2}$

$16m = m_2$

3. 最終的な答え

(1) 波長: $2L$、振動数: $\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

(2) $16m$