長さLのガラス管にピストンを挿入し、一方の端にスピーカーを設置する。ピストンを移動させると、2つの位置で共鳴が起こり、ピストンが中央（L/2）に来た時に3回目の共鳴が起こる。音速をvとして、以下の問いに答える。 (1) 気柱内の音波の波長を求める。 (2) スピーカーの振動数を求める。 (3) ピストンを取り除き、(2)と同じ振動数の音波を出したとき、気柱内で空気の圧力変化が最大になる場所の数を求める。 (4) スピーカーの振動数を(2)の値から0まで下げたとき、共鳴が何回起こるかを求める。ただし、(2)の振動数での共鳴は含まない。

1. 問題の内容

長さLのガラス管にピストンを挿入し、一方の端にスピーカーを設置する。ピストンを移動させると、2つの位置で共鳴が起こり、ピストンが中央（L/2）に来た時に3回目の共鳴が起こる。音速をvとして、以下の問いに答える。

(1) 気柱内の音波の波長を求める。

(2) スピーカーの振動数を求める。

(3) ピストンを取り除き、(2)と同じ振動数の音波を出したとき、気柱内で空気の圧力変化が最大になる場所の数を求める。

(4) スピーカーの振動数を(2)の値から0まで下げたとき、共鳴が何回起こるかを求める。ただし、(2)の振動数での共鳴は含まない。

2. 解き方の手順

(1) 共鳴が起こる条件を考える。ピストンがある場合、管の端は音の節となる。3回目の共鳴がピストンがL/2の位置で起こるので、

$L/2 = (2n-1) \lambda / 4$ (n=3)

となる。

$L/2 = (2 \times 3 - 1) \lambda / 4 = 5 \lambda / 4$

よって、波長$\lambda$は

$\lambda = (4/5)(L/2) = 2L/5$

(2) 音速v、波長$\lambda$、振動数fの関係は

$v = f \lambda$

である。(1)より$\lambda = 2L/5$なので、

$f = v / \lambda = v / (2L/5) = 5v / (2L)$

(3) ピストンを取り除くと、管の両端が開口端となる。開口端では音の腹となる。圧力変化が最大になるのは、音の節の位置である。両端が開口端なので、基本振動は$\lambda = 2L$となる。

(2)の振動数fは$f = 5v / (2L)$であった。この時の波長$\lambda'$は

$\lambda' = v / f = v / (5v / (2L)) = 2L/5$

定常波において、節と節の間隔は$\lambda'/2$である。管の長さLの中に何個節があるかを考える。

L / ($\lambda'/2$) = L / (L/5) = 5

したがって、節の数は6個。両端は腹なので、その間には節が5箇所存在する。圧力変化が最大になる場所は節なので、5箇所である。

(4) スピーカーの振動数を下げていくと、共鳴が起こる振動数は

$f_n = n v / (2L)$ (n=1, 2, 3, ...)

(2)の振動数は$f = 5v / (2L)$なので、$f_n$が$5v / (2L)$より小さい範囲で何個存在するかを考える。

$n < 5$を満たすnは1, 2, 3, 4の4つ。よって共鳴は4回起こる。

3. 最終的な答え

(1) 波長: $\lambda = 2L/5$

(2) 振動数: $f = 5v / (2L)$

(3) 圧力変化が最大になる場所の数: 5箇所

(4) 共鳴が起こる回数: 4回