仰角30°で打ったテニスのボールが、8m先の壁にちょうど直角に当たったとき、ボールの初速を求める問題です。

1. 問題の内容

仰角30°で打ったテニスのボールが、8m先の壁にちょうど直角に当たったとき、ボールの初速を求める問題です。

2. 解き方の手順

ボールの初速を $v_0$ [m/s] とします。重力加速度を $g = 9.8$ [m/s$^2$] とします。

まず、水平方向の速度 $v_x$ と鉛直方向の速度 $v_y$ を求めます。

$v_x = v_0 \cos 30^\circ = v_0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$v_y = v_0 \sin 30^\circ = v_0 \cdot \frac{1}{2}$

ボールが壁に到達するまでの時間を $t$ [s] とします。水平方向の距離は $8$ mなので、

$v_x t = 8$

$\frac{\sqrt{3}}{2} v_0 t = 8$

$t = \frac{16}{\sqrt{3} v_0}$

ボールが壁に直角に当たるということは、その瞬間の鉛直方向の速度が0になるということです。ボールが壁に到達するまでに、最高点に達するということです。

鉛直方向の速度は、$v_y - gt$ で表されるので、

$v_y - gt = 0$

$\frac{1}{2} v_0 - gt = 0$

$\frac{1}{2} v_0 - g \cdot \frac{16}{\sqrt{3} v_0} = 0$

$\frac{1}{2} v_0 = g \cdot \frac{16}{\sqrt{3} v_0}$

$v_0^2 = \frac{32g}{\sqrt{3}}$

$v_0 = \sqrt{\frac{32g}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{32 \times 9.8}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{179.96} \approx 13.41$

3. 最終的な答え

ボールの初速は約 $13.41$ m/s です。