数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n^2 + 2na_n - 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定義されるとき、一般項 $a_n$ を推測し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n^2 + 2na_n - 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定義されるとき、一般項 $a_n$ を推測し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) 初めのいくつかの項を計算し、一般項を推測する。

$a_1 = -1$

$a_2 = a_1^2 + 2 \cdot 1 \cdot a_1 - 2 = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$

$a_3 = a_2^2 + 2 \cdot 2 \cdot a_2 - 2 = (-3)^2 + 4(-3) - 2 = 9 - 12 - 2 = -5$

$a_4 = a_3^2 + 2 \cdot 3 \cdot a_3 - 2 = (-5)^2 + 6(-5) - 2 = 25 - 30 - 2 = -7$

よって、$a_n = -2n + 1$ と推測できる。

(2) 数学的帰納法を用いて、$a_n = -2n+1$ であることを証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = -2(1) + 1 = -1$ であり、これは与えられた条件と一致する。したがって、$n=1$ のとき、$a_n = -2n + 1$ は正しい。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = -2k + 1$ が正しいと仮定する。このとき、$n=k+1$ のときにも、$a_{k+1} = -2(k+1) + 1$ が成り立つことを示す。

$a_{k+1} = a_k^2 + 2ka_k - 2$ である。$a_k = -2k+1$ を代入すると、

\begin{align*} a_{k+1} &= (-2k+1)^2 + 2k(-2k+1) - 2 \\ &= 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 2k - 2 \\ &= -2k - 1 \\ &= -2(k+1) + 2 - 1 \\ &= -2(k+1) + 1 \end{align*}

したがって、$n=k+1$ のときにも、$a_{k+1} = -2(k+1) + 1$ が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = -2n + 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = -2n + 1$