与えられた8つの式を因数分解する問題です。 (1) $4x^3 - 18x^2 - 10x$ (2) $8a^2 - 2ab - 3b^2$ (3) $(x-3)^2 + 3 - x$ (4) $(x-y)^2 - (2x-y)^2$ (5) $4ab^2 - a + 2b - 1$ (6) $x^2 - (a-1)x - a$ (7) $6x^2 + 7xy + 2y^2 - x - y - 1$ (8) $a^3 - ab^2 + b^2c - a^2c$

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解する問題です。

(1) $4x^3 - 18x^2 - 10x$

(2) $8a^2 - 2ab - 3b^2$

(3) $(x-3)^2 + 3 - x$

(4) $(x-y)^2 - (2x-y)^2$

(5) $4ab^2 - a + 2b - 1$

(6) $x^2 - (a-1)x - a$

(7) $6x^2 + 7xy + 2y^2 - x - y - 1$

(8) $a^3 - ab^2 + b^2c - a^2c$

2. 解き方の手順

各問題について、因数分解の手順を説明します。

(1) $4x^3 - 18x^2 - 10x$

まず、$2x$でくくり出す：

$2x(2x^2 - 9x - 5)$

次に、$2x^2 - 9x - 5$を因数分解する。たすき掛けを用いる。

$2x^2 - 9x - 5 = (2x + 1)(x - 5)$

よって、$4x^3 - 18x^2 - 10x = 2x(2x + 1)(x - 5)$

(2) $8a^2 - 2ab - 3b^2$

たすき掛けを用いる。

$8a^2 - 2ab - 3b^2 = (4a - 3b)(2a + b)$

(3) $(x-3)^2 + 3 - x$

$(x-3)^2$を展開する。

$(x-3)^2 + 3 - x = x^2 - 6x + 9 + 3 - x = x^2 - 7x + 12$

$x^2 - 7x + 12$を因数分解する。

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$

よって、$(x-3)^2 + 3 - x = (x - 3)(x - 4)$

(4) $(x-y)^2 - (2x-y)^2$

$(x-y)^2 - (2x-y)^2$を$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形と見て因数分解する。

$(x-y)^2 - (2x-y)^2 = ((x-y) + (2x-y))((x-y) - (2x-y)) = (3x - 2y)(-x) = -x(3x - 2y) = x(2y - 3x)$

よって、$(x-y)^2 - (2x-y)^2 = x(2y - 3x)$

(5) $4ab^2 - a + 2b - 1$

$a$でくくり出す：

$a(4b^2 - 1) + 2b - 1 = a(2b - 1)(2b + 1) + (2b - 1) = (2b - 1)(a(2b + 1) + 1) = (2b - 1)(2ab + a + 1)$

よって、$4ab^2 - a + 2b - 1 = (2b - 1)(2ab + a + 1)$

(6) $x^2 - (a-1)x - a$

$x^2 - (a-1)x - a = (x - a)(x + 1)$

(7) $6x^2 + 7xy + 2y^2 - x - y - 1$

$6x^2 + (7y - 1)x + (2y^2 - y - 1)$

$6x^2 + (7y - 1)x + (2y + 1)(y - 1)$

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 1)$

(8) $a^3 - ab^2 + b^2c - a^2c$

$a^3 - ab^2 + b^2c - a^2c = a(a^2 - b^2) - c(a^2 - b^2) = (a - c)(a^2 - b^2) = (a - c)(a - b)(a + b)$

3. 最終的な答え

(1) $2x(2x + 1)(x - 5)$

(2) $(4a - 3b)(2a + b)$

(3) $(x - 3)(x - 4)$

(4) $x(2y - 3x)$

(5) $(2b - 1)(2ab + a + 1)$

(6) $(x - a)(x + 1)$

(7) $(2x + y - 1)(3x + 2y + 1)$

(8) $(a - c)(a - b)(a + b)$