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問題文より、$\frac{1}{23}$ の循環節の長さを求める問題です。素数 $p$ に対して、$\frac{1}{p}$ の循環節の長さは $(p-1)$ の約数であることがわかっています。

数論循環小数素数約数合同算術
2025/5/29

1. 問題の内容

問題文より、123\frac{1}{23} の循環節の長さを求める問題です。素数 pp に対して、1p\frac{1}{p} の循環節の長さは (p−1)(p-1) の約数であることがわかっています。

2. 解き方の手順

まず、p=23p=23 なので、p−1=23−1=22p-1 = 23 - 1 = 22 となります。
次に、22 の約数をすべて求めます。22 の約数は 1, 2, 11, 22 です。
したがって、123\frac{1}{23} の循環節の長さは、1, 2, 11, 22 のいずれかになります。
123\frac{1}{23} を実際に計算して循環小数にしたときの循環節の長さを調べます。
123=0.0434782608695652173913‾\frac{1}{23} = 0.\overline{0434782608695652173913} となります。
循環節は 0434782608695652173913 であり、その長さは 22 です。

3. 最終的な答え

22

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