問題文より、$\frac{1}{23}$ の循環節の長さを求める問題です。素数 $p$ に対して、$\frac{1}{p}$ の循環節の長さは $(p-1)$ の約数であることがわかっています。

1. 問題の内容

問題文より、$\frac{1}{23}$ の循環節の長さを求める問題です。素数 $p$ に対して、$\frac{1}{p}$ の循環節の長さは $(p-1)$ の約数であることがわかっています。

2. 解き方の手順

まず、$p=23$ なので、$p-1 = 23 - 1 = 22$ となります。

次に、22 の約数をすべて求めます。22 の約数は 1, 2, 11, 22 です。

したがって、$\frac{1}{23}$ の循環節の長さは、1, 2, 11, 22 のいずれかになります。

$\frac{1}{23}$ を実際に計算して循環小数にしたときの循環節の長さを調べます。

$\frac{1}{23} = 0.\overline{0434782608695652173913}$ となります。

循環節は 0434782608695652173913 であり、その長さは 22 です。

3. 最終的な答え

22