整数 $n$ について、命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」を対偶を利用して証明する問題です。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」を対偶を利用して証明する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶は、「$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である」となります。この対偶が真であることを証明します。

$n$ が 5 の倍数であると仮定すると、ある整数 $k$ を用いて、

$n = 5k$

と表すことができます。

このとき、$n^2$ は

$n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2)$

となります。

$5k^2$ は整数なので、$n^2$ は 5 の倍数です。

したがって、対偶「$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である」は真です。

対偶が真であるとき、元の命題も真であるので、命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」も真です。

3. 最終的な答え

$n = 5k$ （$k$ は整数）と表せるので、$n^2 = 25k^2 = 5(5k^2)$ となり、$n^2$ は 5 の倍数である。

したがって、対偶「$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である」は真である。

よって、命題「$n^2$ が 5 の倍数でないならば、$n$ は 5 の倍数でない」は真である。（証明終わり）