三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をR、辺ACを2:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。以下の値を求める。 (1) $\frac{BP}{PC}$ (2) $\frac{PO}{OA}$ (3) $\frac{BO}{OQ}$ (4) 三角形ABCの面積をSとするとき、以下の面積をSを用いて表す。 　(1) 三角形APC 　(2) 三角形POC 　(3) 四角形BPOR

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をR、辺ACを2:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。以下の値を求める。

(1) $\frac{BP}{PC}$

(2) $\frac{PO}{OA}$

(3) $\frac{BO}{OQ}$

(4) 三角形ABCの面積をSとするとき、以下の面積をSを用いて表す。

　(1) 三角形APC

　(2) 三角形POC

　(3) 四角形BPOR

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 1$

(2) メネラウスの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{AQ+QC}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$1 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{QO}{OB} = \frac{3}{5}$

$\frac{OB}{QO} = \frac{5}{3}$

$\frac{BO}{OQ} = \frac{5}{3}$

ここで、$\frac{BO}{OQ} = \frac{5}{3}$　を既知として、メネラウスの定理を三角形BCPと直線AOに適用すると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

$\frac{5}{2} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot 1 = 1$

$\frac{RO}{OC} = \frac{2}{5}$

さらに、メネラウスの定理を三角形ABOと直線CRに適用すると、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PR}{RA} \cdot \frac{AO}{OB} = 1$

次に、三角形ARQについて、OはCRとBQの交点であるので、Cevaの定理から

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 1$

三角形BCOについて、AはBPとCQの交点であるので、Cevaの定理から

$\frac{BP}{PO} \cdot \frac{OA}{AC} \cdot \frac{CR}{RB} = 1$

三角形ABQと直線CPについて、メネラウスの定理から

$\frac{AP}{PO} \cdot \frac{OC}{CQ} \cdot \frac{QB}{BA} = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{4}{3}$

よって、$\frac{PO}{OA} = \frac{3}{4}$

(3) $\frac{BO}{OQ} = \frac{5}{3}$

(4)

(1) $\frac{AP}{AO} = \frac{AP}{AP+PO} = \frac{AP}{AP+\frac{3}{4}AP} = \frac{1}{1+\frac{3}{4}} = \frac{4}{7}$

よって、三角形APC = $\frac{1}{2} \times PC \times h$, 三角形ABC = $\frac{1}{2} \times BC \times h$　(hはAからBCへの垂線)

$\frac{三角形APC}{三角形ABC} = \frac{PC}{BC} = \frac{PC}{BP+PC} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

$\frac{三角形APC}{S} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{7}$

(2) $\frac{PO}{AO} = \frac{3}{7}$, よって、三角形POC = $\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{14}$

(3) 四角形BPOR = 三角形BOC - 三角形POR

= 三角形BOC - （三角形AOC - 三角形AOP - 三角形ARP)

$\triangle APC = \frac{1}{2}S$

$\triangle APO = \frac{AO}{AP}\times \triangle APC$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{BP}{PC} = 1$

(2) $\frac{PO}{OA} = \frac{3}{4}$

(3) $\frac{BO}{OQ} = \frac{5}{3}$

(4)

(1) $\triangle APC = \frac{1}{2}S$

(2) $\triangle POC = \frac{3}{14}S$

(3) 四角形BPOR = $\frac{2}{7}S$

修正後の答え:

(4)

(1) $\triangle APC = \frac{1}{2}S$

(2) $\triangle POC = \frac{3}{14}S$

(3) 四角形BPOR = $\frac{2}{7}S$

修正後の答え:

(4)

(1) $\triangle APC = \frac{2}{7} S$

(2) $\triangle POC = \frac{3}{14} S$

(3) 四角形BPOR = $\frac{2}{7} S$

修正後の答え:

(4)

(1) $\triangle APC = \frac{2}{7} S$

(2) $\triangle AOC = \frac{3}{7} S$, $\triangle POC = \frac{PC}{BC}\triangle BOC = \frac{1}{2}\triangle BOC=\frac{3}{14} S$

(3) 四角形BPOR = $\frac{2}{7}S$