次の式を因数分解します。 (1) $x^4 + x^2 + 1$ (2) $9x^4 - 7x^2 + 1$

1. 問題の内容

次の式を因数分解します。

(1) $x^4 + x^2 + 1$

(2) $9x^4 - 7x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + x^2 + 1$

まず、$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ と変形します。

これは $(x^2 + 1)^2 - x^2$ となります。

次に、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$

整理すると、$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ となります。

(2) $9x^4 - 7x^2 + 1$

まず、$9x^4 - 6x^2 + 1 - x^2$ と変形します。

これは $(3x^2 - 1)^2 - (x)^2$ となります。

次に、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$(3x^2 - 1)^2 - x^2 = (3x^2 - 1 + x)(3x^2 - 1 - x)$

整理すると、$(3x^2 + x - 1)(3x^2 - x - 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $(3x^2 + x - 1)(3x^2 - x - 1)$