図2.30のトラス構造において、部材CD、CG、HGに作用する力を切断法によって求めよ。トラスには節点B、C、Dにそれぞれ5kN、8kN、4kNの力が作用している。また、節点JとFに反力が作用している。

1. 問題の内容

図2.30のトラス構造において、部材CD、CG、HGに作用する力を切断法によって求めよ。トラスには節点B、C、Dにそれぞれ5kN、8kN、4kNの力が作用している。また、節点JとFに反力が作用している。

2. 解き方の手順

(1) 全体構造の反力を求める。鉛直方向の力のつり合いより、下向きの力の合計は $5 + 8 + 4 = 17$ kNである。したがって、上向きの反力の合計も17 kNである。対称性から、点Jと点Fの反力は等しく、それぞれ $17/2 = 8.5$ kNである。

(2) 部材CD、CG、HGを切断する。切断された左側の部分について、力のつり合いを考える。

(3) まず、部材HGの力を求める。点Cに関するモーメントのつり合いを考える。HGの力を$F_{HG}$ (引張力を正とする)とすると、モーメントのつり合いの式は

$8.5 \times 4 - 5 \times 2 - F_{HG} \times 2 = 0$

これから、$34 - 10 - 2F_{HG} = 0$、よって、$2F_{HG} = 24$、したがって、$F_{HG} = 12$ kN。つまり、部材HGには12kNの引張力が作用する。

(4) 次に、部材CGの力を求める。鉛直方向の力のつり合いを考える。CGの力を$F_{CG}$ (引張力を正とする)とすると、部材CGの鉛直方向成分は$F_{CG} \sin\theta$となる。ここで、$\theta = 45^{\circ}$なので、$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$である。鉛直方向の力のつり合いの式は、

$8.5 - 5 - 8 + F_{CG} \sin 45^{\circ} = 0$

これから、$-4.5 + \frac{F_{CG}}{\sqrt{2}} = 0$、よって、$F_{CG} = 4.5\sqrt{2} = 4.5 \times 1.414 \approx 6.363$ kN。つまり、部材CGには約6.363 kNの圧縮力が作用する。（部材CGには正の値が出たので、仮定した向き（引張）とは逆の圧縮力が作用している。）

(5) 最後に、部材CDの力を求める。水平方向の力のつり合いを考える。CDの力を$F_{CD}$ (引張力を正とする)とすると、部材CGの水平方向成分は$F_{CG} \cos\theta$となる。ここで、$\theta = 45^{\circ}$なので、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$である。水平方向の力のつり合いの式は、

$-F_{HG} - F_{CD} + F_{CG} \cos 45^{\circ} = 0$

$-12 - F_{CD} + 4.5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

$-12 - F_{CD} + 4.5 = 0$

よって、$F_{CD} = -12 + 4.5 = -7.5$ kN。つまり、部材CDには7.5kNの圧縮力が作用する。

3. 最終的な答え

部材CDには7.5 kNの圧縮力が作用する。

部材CGには約6.36 kNの圧縮力が作用する。

部材HGには12 kNの引張力が作用する。