問題は、次の2つの式の二重根号を外して簡単にすることです。 (1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$ (2) $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式の二重根号を外して簡単にすることです。

(1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$

(2) $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$ について

まず、$6\sqrt{2}$ を $2\sqrt{18}$ と変形します。

$\sqrt{11 + 2\sqrt{18}}$

次に、足して11、掛けて18になる2つの数を見つけます。

それは9と2です。

したがって、

$\sqrt{11 + 2\sqrt{18}} = \sqrt{(9 + 2) + 2\sqrt{9 \times 2}} = \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2}$

$\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$ について

まず、根号の中を2で割ります。

$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12 - 6\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

次に、$6\sqrt{3}$ を $2\sqrt{27}$ と変形します。

$\frac{\sqrt{12 - 2\sqrt{27}}}{\sqrt{2}}$

足して12、掛けて27になる2つの数を見つけます。

それは9と3です。

$\frac{\sqrt{12 - 2\sqrt{27}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(9+3) - 2\sqrt{9 \times 3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(3-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3 + \sqrt{2}$

(2) $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$