$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$、 $y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ (3) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$、 $y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(3) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を簡単にします。

$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$

(1) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$

$y^2 = (3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$

$x^2 + y^2 = (17 + 12\sqrt{2}) + (17 - 12\sqrt{2}) = 34$

(2) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を計算します。

$\frac{x}{y} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{(3 + 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9 + 12\sqrt{2} + 8}{9 - 8} = 17 + 12\sqrt{2}$

$\frac{y}{x} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{(3 - 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{9 - 12\sqrt{2} + 8}{9 - 8} = 17 - 12\sqrt{2}$

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = (17 + 12\sqrt{2}) + (17 - 12\sqrt{2}) = 34$

(3) $x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ を利用します。

$x + y = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

$xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$

$x^2 + y^2 = 34$ （(1)で計算済み）

$x^3 + y^3 = (6)(34 - 1) = 6 \cdot 33 = 198$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 34$

(2) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 34$

(3) $x^3 + y^3 = 198$