問題6は、根号を含む式の計算を行う問題です。問題7は、分母に根号を含む式の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

問題6は、根号を含む式の計算を行う問題です。問題7は、分母に根号を含む式の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

問題6

(1) $\sqrt{28} + \sqrt{63}$ を計算します。まず、それぞれを簡単にします。

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$

よって、

$\sqrt{28} + \sqrt{63} = 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 5\sqrt{7}$

(2) $(\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(4\sqrt{2} - \sqrt{7})$ を展開して計算します。

$(\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(4\sqrt{2} - \sqrt{7}) = \sqrt{2} \times 4\sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{7} + 3\sqrt{7} \times 4\sqrt{2} - 3\sqrt{7} \times \sqrt{7}$

$= 4 \times 2 - \sqrt{14} + 12\sqrt{14} - 3 \times 7 = 8 + 11\sqrt{14} - 21 = -13 + 11\sqrt{14}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ を計算します。それぞれの分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

よって、

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

問題7

(1) $\frac{1}{\sqrt{50}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{50} \times \sqrt{50}} = \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{25 \times 2}}{50} = \frac{5\sqrt{2}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

(2) $\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = 2(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{7}-2\sqrt{3}$

(3) $\frac{2\sqrt{5}}{1+\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{2\sqrt{5}}{1+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{2\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{-2} = -(\sqrt{5}-\sqrt{15}) = \sqrt{15}-\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題6

(1) $5\sqrt{7}$

(2) $-13 + 11\sqrt{14}$

(3) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

問題7

(1) $\frac{\sqrt{2}}{10}$

(2) $2\sqrt{7}-2\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{15}-\sqrt{5}$