与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(b+c)(c+a) = bc + ba + c^2 + ca$

次に、$(bc + ba + c^2 + ca)(a+b)$ を展開します。

$(bc + ba + c^2 + ca)(a+b) = bca + bc b + ba a + ba b + c^2 a + c^2 b + ca a + ca b$

$= abc + b^2 c + a^2 b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2 c + abc$

$= 2abc + b^2 c + a^2 b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2 c$

最後に、$2abc + b^2 c + a^2 b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2 c + abc$ を整理します。

$2abc + b^2 c + a^2 b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2 c + abc = a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b + 3abc$

この式は、因数分解できる可能性があります。対称式なので、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開した形が近いと考えられます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c + b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b + 2abc$

したがって、$a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

または

$a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b + 3abc$