与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)(a+b)$ の部分を展開します。

\begin{align*}

(b+c)(c+a)(a+b) &= (b+c)(ac + bc + a^2 + ab) \\

&= abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc \\

&= a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + ab^2

\end{align*}

次に、この結果に $abc$ を加えます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式を因数分解することを考えます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$ を思い出します。

元の式を展開すると、

\begin{align*}

(a+b)(b+c)(c+a) &= (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) \\

&= abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc \\

&= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc

\end{align*}

よって、

$(b+c)(c+a)(a+b) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

ここで、$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ という式を考えると、 これは $(a+b)(b+c)(c+a)$ に等しいです。したがって、$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + abc + abc = (a+b)(b+c)(c+a)$.

また、 $a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ であり、

$(b+c)(c+a)(a+b) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ なので、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$.

最終的に$(a+b+c)(ab+bc+ca)$に整理できます。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$