問題は、ベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ を3次元ユークリッド空間 $R^3$ の元としたとき、以下の3つの主張の正誤を判断する問題です。 1. $u_1, u_2, u_3, u_4$ は一次独立である。

1. 問題の内容

問題は、ベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ を3次元ユークリッド空間 $R^3$ の元としたとき、以下の3つの主張の正誤を判断する問題です。

1. $u_1, u_2, u_3, u_4$ は一次独立である。

2. $u_1, u_2, u_3$ が一次独立なら、$u_2, u_3$ は一次独立である。

3. 各組 $\{u_1, u_2\}$, $\{u_2, u_3\}$, $\{u_3, u_1\}$ がいずれも一次独立であるなら、$u_1, u_2, u_3$ は一次独立である。

2. 解き方の手順

1. 主張1について：$R^3$ のベクトルは最大でも3つの一次独立なベクトルしか存在し得ません。$u_1, u_2, u_3, u_4$ は4つのベクトルなので、必ず一次従属になります。したがって、主張1は誤りです。

2. 主張2について：$u_1, u_2, u_3$ が一次独立である場合、$u_2, u_3$ が一次独立であることは正しいです。なぜなら、$u_2, u_3$ が一次従属であると仮定すると、あるスカラー $c$ が存在して、$u_2 = c u_3$ が成り立ちます。このとき、

$0 \cdot u_1 + 1 \cdot u_2 + (-c) \cdot u_3 = 0$ となり、$u_1, u_2, u_3$ が一次従属になってしまい、仮定に矛盾します。したがって、主張2は正しいです。

3. 主張3について：各組 $\{u_1, u_2\}$, $\{u_2, u_3\}$, $\{u_3, u_1\}$ が一次独立であっても、$u_1, u_2, u_3$ が一次独立とは限りません。反例として、$u_1 = (1, 0, 0)$, $u_2 = (0, 1, 0)$, $u_3 = (1, 1, 0)$ を考えます。このとき、$u_1, u_2, u_3$ は一次従属ですが、$\{u_1, u_2\}$, $\{u_2, u_3\}$, $\{u_3, u_1\}$ はいずれも一次独立です。したがって、主張3は誤りです。

3. 最終的な答え

1. 主張1：誤り

2. 主張2：正しい

3. 主張3：誤り