与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、以下の3つの計算を行います。 (1) $(1 + \sqrt{3}i)^5$ (2) $(1 + i)^8$ (3) $(1 - \sqrt{3}i)^{-6}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、以下の3つの計算を行います。

(1) $(1 + \sqrt{3}i)^5$

(2) $(1 + i)^8$

(3) $(1 - \sqrt{3}i)^{-6}$

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を利用して計算します。複素数を極形式で表し、累乗を計算した後、直交形式に戻します。

(1) $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$ の場合

$r_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_1 = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$

$z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

$z_1^5 = 2^5\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 32\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right)$

$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin\frac{5\pi}{3} = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_1^5 = 32\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 16 - 16\sqrt{3}i$

(2) $z_2 = 1 + i$ の場合

$r_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\theta_2 = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$

$z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

$z_2^8 = (\sqrt{2})^8\left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right) = 2^4\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16(1 + 0i) = 16$

(3) $z_3 = 1 - \sqrt{3}i$ の場合

$r_3 = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

$\theta_3 = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$

$z_3 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

$z_3^{-6} = 2^{-6}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{6\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{64}(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = \frac{1}{64}(1 + 0i) = \frac{1}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $(1 + \sqrt{3}i)^5 = 16 - 16\sqrt{3}i$

(2) $(1 + i)^8 = 16$

(3) $(1 - \sqrt{3}i)^{-6} = \frac{1}{64}$