円に内接する四角形ABCEがあり、弧AB=弧BC、弧AE=弧EDである。∠CAE = 30°、∠CDE = 65°のとき、∠BAE = αを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCEがあり、弧AB=弧BC、弧AE=弧EDである。∠CAE = 30°、∠CDE = 65°のとき、∠BAE = αを求める。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、弧AB = 弧BCなので、∠BCA = ∠BAC。

* 同様に、弧AE = 弧EDなので、∠DAE = ∠ADE。

* 四角形ACDEにおいて、内角の和は360°なので、∠CAE + ∠ADE + ∠DCA + ∠CED = 360°。

* 円周角の定理より、∠CED = ∠CAD。

* よって、∠CAE + ∠ADE + ∠DCA + ∠CAD = 360°。

* ∠CDE = 65°であるので、∠CAD = 65°。

* したがって、30° + ∠ADE + ∠DCA + 65° = 360°。

* ∠DCA + ∠ADE = 360° - 30° - 65° = 265°。

* 円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠ABC + ∠AEC = 180°。

* 同様に、∠BAE + ∠BCE = 180°。

* 円周角の定理より、∠BCE = ∠BDE。

* したがって、α + ∠BDE = 180°。

* 四角形BCDEにおいて、∠BCD + ∠BED = 180°。

* ∠BCE = ∠BDE より、∠BCA + ∠ACE + ∠BDE = 180°。

* 円周角の定理より、∠BAE = α、∠CAE = 30°であるから、∠BAC = α + 30°。

* 弧AB = 弧BC より、∠BCA = ∠BAC なので、∠BCA = α + 30°。

* 同様に、弧AE = 弧ED より、∠ADE = ∠DAE。

* ∠CDE = 65°であるから、∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = ∠ADE + 65°。

* 円周角の定理より、∠ADE = ∠ACE。

* ∠ACE + ∠BCA = ∠BCE。

* 四角形ABCEにおいて、∠BAE + ∠BCE = 180°である。

* α + ∠BCE = 180°。

* また、∠BCE = ∠ACE + ∠BCA であるから、α + ∠ACE + ∠BCA = 180°。

* ∠BCA = α + 30°であるから、α + ∠ACE + α + 30° = 180°。

* 2α + ∠ACE = 150°。

* ∠ACE = 150° - 2α。

* ∠ADE = ∠ACE = 150° - 2α。

* ∠CDE = 65°

* ∠CDE = ∠CAE+∠ACE, 65 = 30 + 150 -2α, 2α = 115, α = 57.

5. * 最後に、∠BAE = α.

3. 最終的な答え

$\alpha = 57.5^{\circ}$