ベクトル $\vec{r} = (x, y, z)$ および $r = |\vec{r}|$ が与えられている。 問題1は、原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ 上で、$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S}$ を計算することです。 問題2は、ある閉曲面 $S$ で囲まれた領域を $V$ とするとき、面積分を体積分に変換することです。ただし、元の面積分の具体的な形は画像には含まれていません。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{r} = (x, y, z)$ および $r = |\vec{r}|$ が与えられている。

問題1は、原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ 上で、$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S}$ を計算することです。

問題2は、ある閉曲面 $S$ で囲まれた領域を $V$ とするとき、面積分を体積分に変換することです。ただし、元の面積分の具体的な形は画像には含まれていません。

2. 解き方の手順

問題1：

球面座標系を用いると、球面 $S$ 上の任意の点における位置ベクトルは $\vec{r} = a \hat{n}$ と表せる。ここで、$\hat{n}$ は球面 $S$ の外向き単位法線ベクトルであり、$\hat{n} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{\vec{r}}{a}$ である。

また、面積ベクトル $d\vec{S} = \hat{n} dS$ となる。

したがって、$\vec{r} \cdot d\vec{S} = \vec{r} \cdot \hat{n} dS = a \hat{n} \cdot \hat{n} dS = a dS$となる。

与えられた積分は、

$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S} = \int_S a dS = a \int_S dS = a (\text{球面}S\text{の面積}) = a (4\pi a^2) = 4\pi a^3$

問題2：

発散定理（ガウスの定理）を用いることで、面積分を体積分に変換することができる。発散定理は、閉曲面 $S$ で囲まれた領域 $V$ に対して、次の式で表される。

$\oint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{F}) dV$

ここで、$\vec{F}$ はベクトル場、$\nabla \cdot \vec{F}$ は $\vec{F}$ の発散である。

画像には具体的な面積分の形が与えられていないので、一般的に発散定理を適用することで体積分に変換できることを示します。

3. 最終的な答え

問題1:

$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S} = 4\pi a^3$

問題2:

面積分を体積分に変換するには、発散定理（ガウスの定理）を用いる。

$\oint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{F}) dV$

具体的な面積分の形が与えられていないので、一般的な変換の形を示すに留まる。