次の3つの二次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内でそれぞれ求める問題です。 (1) $y = -x^2 + 1$ (定義域: $1 \le x \le 3$) (2) $y = 2x^2 - 4x + 1$ (定義域: $-1 \le x \le 2$) (3) $y = -2x^2 + 12x$ (定義域: $0 \le x \le 6$)

1. 問題の内容

次の3つの二次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内でそれぞれ求める問題です。

(1) $y = -x^2 + 1$ (定義域: $1 \le x \le 3$)

(2) $y = 2x^2 - 4x + 1$ (定義域: $-1 \le x \le 2$)

(3) $y = -2x^2 + 12x$ (定義域: $0 \le x \le 6$)

2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、定義域の端点と頂点のx座標を比較し、定義域内に頂点が含まれるかどうかを確認します。定義域の端点におけるyの値と頂点のyの値を比較することで、最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -x^2 + 1$ について

平方完成すると、

$y = -(x - 0)^2 + 1$

頂点は $(0, 1)$ です。定義域は $1 \le x \le 3$ なので、頂点は定義域に含まれません。

$x = 1$ のとき $y = -1^2 + 1 = 0$

$x = 3$ のとき $y = -3^2 + 1 = -8$

よって、定義域内で最大値は $0$, 最小値は $-8$ です。

(2) $y = 2x^2 - 4x + 1$ について

平方完成すると、

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 1$

頂点は $(1, -1)$ です。定義域は $-1 \le x \le 2$ なので、頂点は定義域に含まれます。

$x = -1$ のとき $y = 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$

$x = 2$ のとき $y = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$

頂点のy座標は $-1$ です。

よって、定義域内で最大値は $7$, 最小値は $-1$ です。

(3) $y = -2x^2 + 12x$ について

平方完成すると、

$y = -2(x^2 - 6x)$

$y = -2(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -2(x - 3)^2 + 18$

頂点は $(3, 18)$ です。定義域は $0 \le x \le 6$ なので、頂点は定義域に含まれます。

$x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$

$x = 6$ のとき $y = -2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$

頂点のy座標は $18$ です。

よって、定義域内で最大値は $18$, 最小値は $0$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $0$ (x=1), 最小値: $-8$ (x=3)

(2) 最大値: $7$ (x=-1), 最小値: $-1$ (x=1)

(3) 最大値: $18$ (x=3), 最小値: $0$ (x=0, 6)