以下の関数 $f(x)$ について、2階導関数と3階導関数を求め、さらに $x=2$ における2階微分係数と3階微分係数を求める。もし、$x=2$ において2階または3階微分不可能であれば、微分係数の代わりに×と答える。 a) $f(x) = 2x+5$ b) $f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 4x + 1$ c) $f(x) = e^x$ d) $f(x) = \ln(x^2+3)$

1. 問題の内容

以下の関数 $f(x)$ について、2階導関数と3階導関数を求め、さらに $x=2$ における2階微分係数と3階微分係数を求める。もし、$x=2$ において2階または3階微分不可能であれば、微分係数の代わりに×と答える。

a) $f(x) = 2x+5$

b) $f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 4x + 1$

c) $f(x) = e^x$

d) $f(x) = \ln(x^2+3)$

2. 解き方の手順

a) $f(x) = 2x+5$

1階導関数: $f'(x) = 2$

2階導関数: $f''(x) = 0$

3階導関数: $f'''(x) = 0$

$x=2$ における2階微分係数: $f''(2) = 0$

$x=2$ における3階微分係数: $f'''(2) = 0$

b) $f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 4x + 1$

1階導関数: $f'(x) = 9x^2 + 8x + 4$

2階導関数: $f''(x) = 18x + 8$

3階導関数: $f'''(x) = 18$

$x=2$ における2階微分係数: $f''(2) = 18(2) + 8 = 36 + 8 = 44$

$x=2$ における3階微分係数: $f'''(2) = 18$

c) $f(x) = e^x$

1階導関数: $f'(x) = e^x$

2階導関数: $f''(x) = e^x$

3階導関数: $f'''(x) = e^x$

$x=2$ における2階微分係数: $f''(2) = e^2$

$x=2$ における3階微分係数: $f'''(2) = e^2$

d) $f(x) = \ln(x^2+3)$

1階導関数: $f'(x) = \frac{2x}{x^2+3}$

2階導関数: $f''(x) = \frac{2(x^2+3) - 2x(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^2+6 - 4x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-2x^2+6}{(x^2+3)^2}$

3階導関数: $f'''(x) = \frac{(-4x)(x^2+3)^2 - (-2x^2+6)2(x^2+3)(2x)}{(x^2+3)^4} = \frac{-4x(x^2+3) - (-2x^2+6)(4x)}{(x^2+3)^3} = \frac{-4x^3-12x + 8x^3 - 24x}{(x^2+3)^3} = \frac{4x^3 - 36x}{(x^2+3)^3}$

$x=2$ における2階微分係数: $f''(2) = \frac{-2(2)^2+6}{((2)^2+3)^2} = \frac{-8+6}{(4+3)^2} = \frac{-2}{49}$

$x=2$ における3階微分係数: $f'''(2) = \frac{4(2)^3 - 36(2)}{((2)^2+3)^3} = \frac{32 - 72}{(4+3)^3} = \frac{-40}{7^3} = \frac{-40}{343}$

3. 最終的な答え

a) 2階導関数: $f''(x) = 0$, 3階導関数: $f'''(x) = 0$, 2階微分係数: 0, 3階微分係数: 0

b) 2階導関数: $f''(x) = 18x+8$, 3階導関数: $f'''(x) = 18$, 2階微分係数: 44, 3階微分係数: 18

c) 2階導関数: $f''(x) = e^x$, 3階導関数: $f'''(x) = e^x$, 2階微分係数: $e^2$, 3階微分係数: $e^2$

d) 2階導関数: $f''(x) = \frac{-2x^2+6}{(x^2+3)^2}$, 3階導関数: $f'''(x) = \frac{4x^3 - 36x}{(x^2+3)^3}$, 2階微分係数: $\frac{-2}{49}$, 3階微分係数: $\frac{-40}{343}$