関数 $y = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則を使用します。

積の微分法則は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

です。

まず、$u(x) = x^{\frac{2}{3}}$ と $v(x) = (1-x)^{\frac{3}{2}}$ とおきます。

次に、$u(x)$ と $v(x)$ をそれぞれ微分します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

$v'(x) = \frac{d}{dx}((1-x)^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}(1-x)^{\frac{3}{2}-1} \cdot \frac{d}{dx}(1-x) = \frac{3}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}} \cdot (-1) = -\frac{3}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}}$

積の微分法則を使って、$y$ の微分を計算します。

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$= \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2}{3}}(-\frac{3}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}})$

$= \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}}$

$= x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{2}{3}(1-x) - \frac{3}{2}x \right)$

$= x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{4(1-x) - 9x}{6} \right)$

$= x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{4 - 4x - 9x}{6} \right)$

$= x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{4 - 13x}{6} \right)$

$= \frac{(4-13x)\sqrt{1-x}}{6\sqrt[3]{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(4-13x)\sqrt{1-x}}{6\sqrt[3]{x}}$