与えられた曲線に対して、指定されたx座標における接線の座標と方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $y = x^5 + 6x^2 - x$, $x = -1$ (2) $y = \arcsin{\sqrt{x}}$, $x = \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

与えられた曲線に対して、指定されたx座標における接線の座標と方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $y = x^5 + 6x^2 - x$, $x = -1$

(2) $y = \arcsin{\sqrt{x}}$, $x = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^5 + 6x^2 - x$, $x = -1$ の場合

ステップ1: 接点のy座標を求める

$x = -1$ を $y = x^5 + 6x^2 - x$ に代入すると、

$y = (-1)^5 + 6(-1)^2 - (-1) = -1 + 6 + 1 = 6$

よって、接点の座標は $(-1, 6)$

ステップ2: 導関数を求める

$y' = \frac{dy}{dx} = 5x^4 + 12x - 1$

ステップ3: 接線の傾きを求める

$x = -1$ を $y'$ に代入すると、

$y'(-1) = 5(-1)^4 + 12(-1) - 1 = 5 - 12 - 1 = -8$

よって、接線の傾きは $-8$

ステップ4: 接線の方程式を求める

接点の座標 $(-1, 6)$ と傾き $-8$ を用いて、接線の方程式は

$y - 6 = -8(x - (-1))$

$y - 6 = -8(x + 1)$

$y = -8x - 8 + 6$

$y = -8x - 2$

(2) $y = \arcsin{\sqrt{x}}$, $x = \frac{1}{2}$ の場合

ステップ1: 接点のy座標を求める

$x = \frac{1}{2}$ を $y = \arcsin{\sqrt{x}}$ に代入すると、

$y = \arcsin{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$

よって、接点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4})$

ステップ2: 導関数を求める

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

ステップ3: 接線の傾きを求める

$x = \frac{1}{2}$ を $y'$ に代入すると、

$y'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$

よって、接線の傾きは $1$

ステップ4: 接線の方程式を求める

接点の座標 $(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4})$ と傾き $1$ を用いて、接線の方程式は

$y - \frac{\pi}{4} = 1(x - \frac{1}{2})$

$y = x - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 接点の座標: $(-1, 6)$

接線の方程式: $y = -8x - 2$

(2) 接点の座標: $(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4})$

接線の方程式: $y = x - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$