総費用 $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ が与えられたとき、平均可変費用 $AVC$ を $AVC = (8)X^2 - (9)X + (10)$ の形で表す。（９）に入る数字を求めよ。

1. 問題の内容

総費用 $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ が与えられたとき、平均可変費用 $AVC$ を $AVC = (8)X^2 - (9)X + (10)$ の形で表す。（９）に入る数字を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、可変費用を求める。総費用$TC$は固定費用$FC$と可変費用$VC$の和で表される。

$TC = VC + FC$

$TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ である。$X$は生産量であり、生産量が0のとき、総費用は固定費用に等しい。

$TC(0) = 0^3 - 8(0)^2 + 30(0) + 5 = 5$

よって固定費用 $FC = 5$ である。

したがって、可変費用$VC$は

$VC = TC - FC = (X^3 - 8X^2 + 30X + 5) - 5 = X^3 - 8X^2 + 30X$

次に、平均可変費用$AVC$を求める。平均可変費用は可変費用を生産量$X$で割ったものである。

$AVC = \frac{VC}{X} = \frac{X^3 - 8X^2 + 30X}{X} = X^2 - 8X + 30$

よって、$AVC = X^2 - 8X + 30$ となる。

問題文より、$AVC = (8)X^2 - (9)X + (10)$であるから、

(8) = 1, (9) = 8, (10) = 30 となる。

したがって、（９）に入る数字は８である。

3. 最終的な答え

8