完全競争市場における企業の最適生産量を求める問題です。総費用関数が $TC = X^3 - 6X^2 + 18X + 32$ で与えられ、市場価格が $54$ であるとき、企業の利潤を最大化する生産量 $X$ を求めます。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の最適生産量を求める問題です。総費用関数が $TC = X^3 - 6X^2 + 18X + 32$ で与えられ、市場価格が $54$ であるとき、企業の利潤を最大化する生産量 $X$ を求めます。

2. 解き方の手順

完全競争市場では、企業は価格受容者であり、利潤最大化のためには限界費用（MC）が市場価格（P）と等しくなるように生産量を決定します。

まず、総費用関数 $TC$ を $X$ で微分して限界費用 $MC$ を求めます。

$MC = \frac{dTC}{dX} = \frac{d}{dX}(X^3 - 6X^2 + 18X + 32) = 3X^2 - 12X + 18$

次に、限界費用 $MC$ が市場価格 $P = 54$ と等しくなるように $X$ を求めます。

$3X^2 - 12X + 18 = 54$

この方程式を解きます。

$3X^2 - 12X - 36 = 0$

$X^2 - 4X - 12 = 0$

$(X - 6)(X + 2) = 0$

$X = 6$ または $X = -2$

ただし、生産量 $X > 0$ であるため、$X = 6$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

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