完全競争市場における企業の平均費用 $AC$ が $AC = x^2 - 6x + 24$ で表されるとき、市場価格が39である場合の最適生産量 $x$ を求める問題です。ここで、$x$ は生産量で、$x > 0$ です。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の平均費用 $AC$ が $AC = x^2 - 6x + 24$ で表されるとき、市場価格が39である場合の最適生産量 $x$ を求める問題です。ここで、$x$ は生産量で、$x > 0$ です。

2. 解き方の手順

完全競争市場では、企業は価格＝限界費用（MC）となるように生産量を決定します。しかし、この問題では限界費用が与えられていません。しかし、長期均衡では、企業は平均費用（AC）が最小となるように生産量を決定します。したがって、ACを最小化します。

まず、$AC = x^2 - 6x + 24$ を最小化するために、微分して0とおきます。

$\frac{dAC}{dx} = 2x - 6$

$\frac{dAC}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

次に、与えられた市場価格が39であることを考慮します。完全競争市場において、企業は価格＝限界費用（MC）となるように生産量を決定します。しかし、長期均衡においては、価格は平均費用（AC）の最小値と等しくなります。

求めた $x = 3$ を平均費用の式に代入し、最小の平均費用を求めます。

$AC = (3)^2 - 6(3) + 24 = 9 - 18 + 24 = 15$

市場価格が39であるということは、長期均衡ではないことを意味します。

ここでは、市場価格が39であるとき、平均費用 $AC$ は39に等しいと仮定して、最適な生産量 $x$ を計算します。

$AC = x^2 - 6x + 24 = 39$

$x^2 - 6x + 24 - 39 = 0$

$x^2 - 6x - 15 = 0$

解の公式を使って $x$ を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{6}}{2}$

$x = 3 \pm 2\sqrt{6}$

$x > 0$ より、$x = 3 + 2\sqrt{6}$ になります。

$2\sqrt{6} \approx 2 * 2.449 = 4.898$

$x \approx 3 + 4.898 \approx 7.898$

しかし、問題文には「最適な生産量は整数である」という記述がないため、整数に丸めることはできません。

平均費用と市場価格が一致するのは、企業が利潤ゼロで操業している状態を意味するので、AC = 39となる生産量を求めます。

$x^2 - 6x + 24 = 39$

$x^2 - 6x - 15 = 0$

上記の解の公式を使って

$x = 3 \pm 2\sqrt{6}$

$x > 0$ なので $x = 3 + 2\sqrt{6} \approx 7.90$

問題文の指示に従い、半角数字で入力します。

3. 最終的な答え

$3+2\sqrt{6}$