完全競争市場における企業の平均費用 $AC$ が $AC = X^2 - 6X + 24$ で与えられています ($X$ は生産量、$X > 0$)。市場価格が39であるとき、企業の最適生産量 $X$ を求める問題です。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の平均費用 $AC$ が $AC = X^2 - 6X + 24$ で与えられています ($X$ は生産量、$X > 0$)。市場価格が39であるとき、企業の最適生産量 $X$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

完全競争市場では、企業は価格 $P$ と限界費用 $MC$ が等しくなるように生産量を決定します。ここでは平均費用 $AC$ が与えられているので、まず総費用 $TC$ を求めます。総費用は平均費用に生産量を掛けたものなので、

$TC = AC \times X = (X^2 - 6X + 24)X = X^3 - 6X^2 + 24X$

次に、限界費用 $MC$ は総費用 $TC$ を生産量 $X$ で微分したものなので、

$MC = \frac{dTC}{dX} = 3X^2 - 12X + 24$

市場価格 $P$ が39であるとき、 $MC = P$ となる $X$ を求めます。

$3X^2 - 12X + 24 = 39$

$3X^2 - 12X - 15 = 0$

$X^2 - 4X - 5 = 0$

$(X - 5)(X + 1) = 0$

$X = 5$ または $X = -1$

$X > 0$ より、$X = 5$

3. 最終的な答え

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