原点Oを中心として角振動数$\omega$で単振動する質点の運動方程式が与えられている。一般解として３つの形式 $x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$ $x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$ $x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$ が提示されている。 (1) 初期条件 $t=0$ で $x(0) = x_0$、$v(0) = 0$ のもとで、それぞれの一般解のパラメータを決定し、３つの解が一致することを確認する。 (2) 初期条件 $t=0$ で $x(0) = 0$、$v(0) = v_0$ のもとで、それぞれの一般解のパラメータを決定し、３つの解が一致することを確認する。

1. 問題の内容

原点Oを中心として角振動数$\omega$で単振動する質点の運動方程式が与えられている。一般解として３つの形式

$x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$

$x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$

$x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$

が提示されている。

(1) 初期条件 $t=0$ で $x(0) = x_0$、$v(0) = 0$ のもとで、それぞれの一般解のパラメータを決定し、３つの解が一致することを確認する。

(2) 初期条件 $t=0$ で $x(0) = 0$、$v(0) = v_0$ のもとで、それぞれの一般解のパラメータを決定し、３つの解が一致することを確認する。

2. 解き方の手順

(1) $t=0$ で $x(0) = x_0$、$v(0) = 0$ の場合

一般解①：$x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$

$x(0) = C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) = C_2 = x_0$

したがって、$C_2 = x_0$

速度 $v(t)$ は $x(t)$ の時間微分であるから、

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = C_1 \omega \cos(\omega t) - C_2 \omega \sin(\omega t)$

$v(0) = C_1 \omega \cos(0) - C_2 \omega \sin(0) = C_1 \omega = 0$

したがって、$C_1 = 0$

よって、一般解①は $x(t) = x_0 \cos(\omega t)$ となる。

一般解②：$x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$

$x(0) = A \cos(\alpha) = x_0$

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \alpha)$

$v(0) = -A \omega \sin(\alpha) = 0$

$A \neq 0$、$\omega \neq 0$ より、$\sin(\alpha) = 0$。したがって、$\alpha = 0$ または $\alpha = \pi$。

$\alpha = 0$ のとき、$A \cos(0) = A = x_0$。よって、$A = x_0$。

$\alpha = \pi$ のとき、$A \cos(\pi) = -A = x_0$。よって、$A = -x_0$。

$A = x_0$、$\alpha = 0$ とすれば、$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$ となる。

一般解③：$x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$

$x(0) = B \sin(\beta) = x_0$

$v(t) = B \omega \cos(\omega t + \beta)$

$v(0) = B \omega \cos(\beta) = 0$

$B \neq 0$、$\omega \neq 0$ より、$\cos(\beta) = 0$。したがって、$\beta = \frac{\pi}{2}$ または $\beta = \frac{3\pi}{2}$。

$\beta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$B \sin(\frac{\pi}{2}) = B = x_0$。よって、$B = x_0$。

$x(t) = x_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = x_0 \cos(\omega t)$

$\beta = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$B \sin(\frac{3\pi}{2}) = -B = x_0$。よって、$B = -x_0$。

$x(t) = -x_0 \sin(\omega t + \frac{3\pi}{2}) = -x_0 (-\cos(\omega t)) = x_0 \cos(\omega t)$

以上より、３つの解は全て $x(t) = x_0 \cos(\omega t)$ と一致する。

(2) $t=0$ で $x(0) = 0$、$v(0) = v_0$ の場合

一般解①：$x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$

$x(0) = C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) = C_2 = 0$

したがって、$C_2 = 0$

$v(t) = C_1 \omega \cos(\omega t) - C_2 \omega \sin(\omega t)$

$v(0) = C_1 \omega \cos(0) - C_2 \omega \sin(0) = C_1 \omega = v_0$

したがって、$C_1 = \frac{v_0}{\omega}$

よって、一般解①は $x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$ となる。

一般解②：$x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$

$x(0) = A \cos(\alpha) = 0$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{2}$ または $\alpha = \frac{3\pi}{2}$。

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \alpha)$

$v(0) = -A \omega \sin(\alpha) = v_0$

$\alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき、$-A \omega \sin(\frac{\pi}{2}) = -A \omega = v_0$。よって、$A = -\frac{v_0}{\omega}$。

$x(t) = -\frac{v_0}{\omega} \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

$\alpha = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$-A \omega \sin(\frac{3\pi}{2}) = A \omega = v_0$。よって、$A = \frac{v_0}{\omega}$。

$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \cos(\omega t + \frac{3\pi}{2}) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

一般解③：$x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$

$x(0) = B \sin(\beta) = 0$

したがって、$\beta = 0$ または $\beta = \pi$。

$v(t) = B \omega \cos(\omega t + \beta)$

$v(0) = B \omega \cos(\beta) = v_0$

$\beta = 0$ のとき、$B \omega \cos(0) = B \omega = v_0$。よって、$B = \frac{v_0}{\omega}$。

$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

$\beta = \pi$ のとき、$B \omega \cos(\pi) = -B \omega = v_0$。よって、$B = -\frac{v_0}{\omega}$。

$x(t) = -\frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t + \pi) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

以上より、３つの解は全て $x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$ と一致する。

3. 最終的な答え

(1) $x(t) = x_0 \cos(\omega t)$

(2) $x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$