与えられた複数の問題について、ベクトルに関する計算、微分、証明を行う。具体的には、ベクトルの外積、単位ベクトルの計算、三角形の面積の計算、ベクトル関数の微分、積の微分、ベクトルの恒等式の証明などを行う。

1. 問題の内容

与えられた複数の問題について、ベクトルに関する計算、微分、証明を行う。具体的には、ベクトルの外積、単位ベクトルの計算、三角形の面積の計算、ベクトル関数の微分、積の微分、ベクトルの恒等式の証明などを行う。

2. 解き方の手順

1. 基本ベクトル i, j, k について、i × j - j × i を求める。

* i × j = k, j × i = -k である。

* したがって、i × j - j × i = k - (-k) = 2k

2. a = (1, 2, 3), b = (2, 1, -1) のとき、a × b, b × a をそれぞれ求め、a × b = -b × a となることを確かめる。

* a × b = (2*(-1) - 3*1, 3*2 - 1*(-1), 1*1 - 2*2) = (-5, 7, -3)

* b × a = (1*3 - (-1)*2, (-1)*1 - 2*3, 2*2 - 1*1) = (5, -7, 3)

* 確かに a × b = -b × a が成り立つ。

3. a = (2, -1, 3), b = (1, 5, -4) の両方に垂直な単位ベクトルを求める。

* a × b = ((-1)*(-4) - 3*5, 3*1 - 2*(-4), 2*5 - (-1)*1) = (-11, 11, 11)

* a × b と -a × b は a, b 両方に垂直。

* 単位ベクトルとするため、大きさを1にする。

* ||a × b|| = $\sqrt{(-11)^2 + 11^2 + 11^2} = 11\sqrt{3}$.

* よって、単位ベクトルは $\pm\frac{1}{11\sqrt{3}}(-11, 11, 11) = \pm(\frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

4. 空間内に3点 A(1, 3, 2), B(0, 5, 3), C(2, 4, 5) がある。この時、AB × AC を求めよ。また、△ABC の面積を求めよ。

* AB = (0-1, 5-3, 3-2) = (-1, 2, 1)

* AC = (2-1, 4-3, 5-2) = (1, 1, 3)

* AB × AC = (2*3 - 1*1, 1*1 - (-1)*3, (-1)*1 - 2*1) = (5, 4, -3)

* ||AB × AC|| = $\sqrt{5^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

* △ABC の面積 = $\frac{1}{2}||AB × AC|| = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

5. 空間内の3点 A(1, 4, -3), B(1, 3, -2), C(k, 3, 2) について、△ABC の面積が $\sqrt{6}$ となるように実数 k の値を求めよ。

* AB = (1-1, 3-4, -2-(-3)) = (0, -1, 1)

* AC = (k-1, 3-4, 2-(-3)) = (k-1, -1, 5)

* AB × AC = ((-1)*5 - 1*(-1), 1*(k-1) - 0*5, 0*(-1) - (-1)*(k-1)) = (-4, k-1, k-1)

* ||AB × AC|| = $\sqrt{(-4)^2 + (k-1)^2 + (k-1)^2} = \sqrt{16 + 2(k-1)^2}$

* △ABC の面積 = $\frac{1}{2}||AB × AC|| = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 2(k-1)^2} = \sqrt{6}$

* $\sqrt{16 + 2(k-1)^2} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$

* $16 + 2(k-1)^2 = 24$

* $2(k-1)^2 = 8$

* $(k-1)^2 = 4$

* $k-1 = \pm 2$

* $k = 1 \pm 2$

* k = 3, -1

6. 基本ベクトル i, j, k について、次を求めよ。

* (a) (i × j) × j = k × j = -i

* (b) i × (j × j) = i × 0 = 0

* (c) (i × j) × i = k × i = j

* (d) i × (j × i) = i × (-k) = -j

7. 次のベクトル関数を微分せよ。また、() 内の t の値における微分係数を求めよ。

* (a) a(t) = ($t^3$, t, $e^{2t}$) (t = 1)

* a'(t) = (3$t^2$, 1, 2$e^{2t}$)

* a'(1) = (3, 1, 2$e^2$)

* (b) b(t) = (2cos t, 3sin t, $t^2$) (t = π/2)

* b'(t) = (-2sin t, 3cos t, 2t)

* b'(π/2) = (-2, 0, π)

8. a = a(t) は t のベクトル関数、u = u(t) は t の関数とするとき、次の公式が成り立つことを証明せよ。

(ua)' = u'a + ua'

* a(t) = ($a_1(t)$, $a_2(t)$, $a_3(t)$) とする。

* ua = (u(t)$a_1(t)$, u(t)$a_2(t)$, u(t)$a_3(t)$)

* (ua)' = (u'$a_1$ + u$a_1'$, u'$a_2$ + u$a_2'$, u'$a_3$ + u$a_3$') = u'($a_1$, $a_2$, $a_3$) + u($a_1'$, $a_2'$, $a_3$') = u'a + ua'

9. a = (3t, $t^2$, $t^2$), b = (cos 2t, sin 2t, 1) のとき、次を求めよ。

* (a) da/dt = (3, 2t, 2t)

* (b) db/dt = (-2sin 2t, 2cos 2t, 0)

* (c) ||db/dt|| = $\sqrt{(-2\sin2t)^2 + (2\cos2t)^2 + 0^2}$ = $\sqrt{4\sin^22t + 4\cos^22t}$ = $\sqrt{4(\sin^22t + \cos^22t)}$ = $\sqrt{4}$ = 2

* (d) d/dt (a・b) = d/dt(3tcos2t + $t^2$sin2t + $t^2$) = 3cos2t - 6tsin2t + 2tsin2t + 2$t^2$cos2t + 2t = 3cos2t - 4tsin2t + 2$t^2$cos2t + 2t

1

0. a(t) = (3t, $t^2$-1, 1), b(t) = (1, t+2, -$t^2$) のとき、次を求めよ。

* (a) {a(t)・b(t)}'

* a(t)・b(t) = 3t + ($t^2$-1)(t+2) + 1*(-$t^2$) = 3t + $t^3$ + 2$t^2$ - t - 2 - $t^2$ = $t^3$ + $t^2$ + 2t - 2

* {a(t)・b(t)}' = 3$t^2$ + 2t + 2

* (b) {a(t) × b(t)}'

* a(t) × b(t) = (($t^2$-1)*(-$t^2$) - 1*(t+2), 1*1 - 3t*(-$t^2$), 3t*(t+2) - ($t^2$-1)*1) = (-$t^4$ + $t^2$ - t - 2, 1 + 3$t^3$, 3$t^2$ + 6t - $t^2$ + 1) = (-$t^4$ + $t^2$ - t - 2, 1 + 3$t^3$, 2$t^2$ + 6t + 1)

* {a(t) × b(t)}' = (-4$t^3$ + 2t - 1, 9$t^2$, 4t + 6)

1

1. r = r(t) は t のベクトル関数とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

(r × r')' = r × r"

* (r × r')' = r' × r' + r × r" = 0 + r × r" = r × r"

3. 最終的な答え

1. 2k

2. a × b = (-5, 7, -3), b × a = (5, -7, 3). a × b = -b × a

3. $(\frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$, $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}})$

4. AB × AC = (5, 4, -3), △ABC の面積 = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

5. k = 3, -1

6. (a) -i, (b) 0, (c) j, (d) -j

7. (a) a'(1) = (3, 1, 2$e^2$), (b) b'(π/2) = (-2, 0, π)

8. 証明済

9. (a) (3, 2t, 2t), (b) (-2sin 2t, 2cos 2t, 0), (c) 2, (d) 3cos2t - 4tsin2t + 2$t^2$cos2t + 2t

1

0. (a) 3$t^2$ + 2t + 2, (b) (-4$t^3$ + 2t - 1, 9$t^2$, 4t + 6)

1

1. 証明済