はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

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1. 問題の内容**

問題1から問題11まで、ベクトルに関する様々な問題が出題されています。具体的には、ベクトルの外積の計算、ベクトルが垂直になる条件、ベクトルの微分、内積・外積の微分などが含まれています。

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2. 解き方の手順**

**問題1**

$i \times j = k$

$j \times i = -k$

したがって、

$i \times j - j \times i = k - (-k) = 2k$

**問題2**

$a = (1,-2,3)$, $b = (2,1,-1)$

$a \times b = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = (2-3)i - (-1-6)j + (1+4)k = -i + 7j + 5k = (-1, 7, 5)$

$b \times a = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = (3-2)i - (6+1)j + (-4-1)k = i - 7j - 5k = (1, -7, -5)$

$a \times b = -b \times a$が成り立つ。

**問題3**

$a = (2, -1, 3)$, $b = (1, 5, -4)$

$a \times b = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & -4 \end{pmatrix} = (4-15)i - (-8-3)j + (10+1)k = -11i + 11j + 11k = (-11, 11, 11)$

$|a \times b| = \sqrt{(-11)^2 + 11^2 + 11^2} = \sqrt{3 \times 11^2} = 11\sqrt{3}$

求める単位ベクトルは、$\pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{(-11, 11, 11)}{11\sqrt{3}} = \pm \frac{(-1, 1, 1)}{\sqrt{3}} = \pm (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

**問題4**

$A(1, 3, 2)$, $B(0, 5, 3)$, $C(2, 4, 5)$

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 5-3, 3-2) = (-1, 2, 1)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 4-3, 5-2) = (1, 1, 3)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} = (6-1)i - (-3-1)j + (-1-2)k = 5i + 4j - 3k = (5, 4, -3)$

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{5^2 + 4^2 + (-3)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{25 + 16 + 9} = \frac{1}{2}\sqrt{50} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

**問題5**

$A(1, 4, -3)$, $B(1, 3, -2)$, $C(k, 3, 2)$

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1, 3-4, -2+3) = (0, -1, 1)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (k-1, 3-4, 2+3) = (k-1, -1, 5)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 0 & -1 & 1 \\ k-1 & -1 & 5 \end{pmatrix} = (-5+1)i - (0-(k-1))j + (0+(k-1))k = -4i + (k-1)j + (k-1)k = (-4, k-1, k-1)$

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{(-4)^2 + (k-1)^2 + (k-1)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 2(k-1)^2}$

$\triangle ABC$の面積が$\sqrt{6}$より、$\frac{1}{2}\sqrt{16 + 2(k-1)^2} = \sqrt{6}$

$\sqrt{16 + 2(k-1)^2} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$

$16 + 2(k-1)^2 = 24$

$2(k-1)^2 = 8$

$(k-1)^2 = 4$

$k-1 = \pm 2$

$k = 1 \pm 2$

$k = 3, -1$

**問題6**

(a) $(i \times j) \times j = k \times j = -i$

(b) $i \times (j \times j) = i \times 0 = 0$

(c) $(i \times j) \times i = k \times i = j$

(d) $i \times (j \times i) = i \times (-k) = -i \times k = -(-j) = j$

**問題7**

(a) $a(t) = (t^3, t, e^{2t})$

$a'(t) = (3t^2, 1, 2e^{2t})$

$a'(1) = (3(1)^2, 1, 2e^{2(1)}) = (3, 1, 2e^2)$

(b) $b(t) = (2\cos t, 3\sin t, t^2)$

$b'(t) = (-2\sin t, 3\cos t, 2t)$

$b'(\pi/2) = (-2\sin(\pi/2), 3\cos(\pi/2), 2(\pi/2)) = (-2(1), 3(0), \pi) = (-2, 0, \pi)$

**問題8**

$(ua)' = u'a + ua'$は、積の微分公式です。

**問題9**

$a = (3t, t-2, t^2)$, $b = (\cos 2t, \sin 2t, 1)$

(a) $\frac{da}{dt} = (3, 1, 2t)$

(b) $\frac{db}{dt} = (-2\sin 2t, 2\cos 2t, 0)$

(c) $|\frac{db}{dt}| = \sqrt{(-2\sin 2t)^2 + (2\cos 2t)^2 + 0^2} = \sqrt{4\sin^2 2t + 4\cos^2 2t} = \sqrt{4(\sin^2 2t + \cos^2 2t)} = \sqrt{4} = 2$

(d) $\frac{d}{dt}(a \cdot b) = \frac{d}{dt}(3t\cos 2t + (t-2)\sin 2t + t^2) = 3\cos 2t - 6t\sin 2t + \sin 2t + 2(t-2)\cos 2t + 2t = (3+2t-4)\cos 2t + (1-6t)\sin 2t + 2t = (2t-1)\cos 2t + (1-6t)\sin 2t + 2t$

**問題10**

$a(t) = (3t, t^2-1, 1)$, $b(t) = (1, t+2, -t^2)$

(a) $\{a(t) \cdot b(t)\}' = \{(3t)(1) + (t^2-1)(t+2) + (1)(-t^2)\}' = \{3t + t^3 + 2t^2 - t - 2 - t^2\}' = \{t^3 + t^2 + 2t - 2\}' = 3t^2 + 2t + 2$

(b) $\{a(t) \times b(t)\}'$を直接計算するのは大変なので、$a' \times b + a \times b'$を計算します。

$a'(t) = (3, 2t, 0)$

$b'(t) = (0, 1, -2t)$

$a' \times b = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 3 & 2t & 0 \\ 1 & t+2 & -t^2 \end{pmatrix} = (-2t^3)i - (-3t^2)j + (3t+6-2t)k = (-2t^3, 3t^2, t+6)$

$a \times b' = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 3t & t^2-1 & 1 \\ 0 & 1 & -2t \end{pmatrix} = (-2t^3+2t-1)i - (-6t^2)j + (3t)k = (-2t^3+2t-1, 6t^2, 3t)$

$\{a(t) \times b(t)\}' = a' \times b + a \times b' = (-2t^3-2t^3+2t-1, 3t^2+6t^2, t+6+3t) = (-4t^3+2t-1, 9t^2, 4t+6)$

**問題11**

$(r \times r')' = r' \times r' + r \times r'' = 0 + r \times r'' = r \times r''$

なぜなら、$r' \times r' = 0$であるから。

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3. 最終的な答え**

それぞれの問題に対する最終的な答えは以下の通りです。

1. $2k$

2. $a \times b = (-1, 7, 5)$, $b \times a = (1, -7, -5)$, $a \times b = -b \times a$が成り立つ。

3. $\pm (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

4. $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (5, 4, -3)$, 面積 = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

5. $k = 3, -1$

6. (a) $-i$, (b) $0$, (c) $j$, (d) $j$

7. (a) $(3, 1, 2e^2)$, (b) $(-2, 0, \pi)$

8. $(ua)' = u'a + ua'$

9. (a) $(3, 1, 2t)$, (b) $(-2\sin 2t, 2\cos 2t, 0)$, (c) $2$, (d) $(2t-1)\cos 2t + (1-6t)\sin 2t + 2t$

1

0. (a) $3t^2 + 2t + 2$, (b) $(-4t^3+2t-1, 9t^2, 4t+6)$

1

1. $(r \times r')' = r \times r''$