長さ$l$、断面積$A$、縦弾性係数$E$、線膨張係数$\alpha$の丸棒が、壁との間に隙間$\lambda$を保って設置されている。基準温度からの温度上昇を$\Delta T$とする。 (1) 基準温度からの温度上昇が$\Delta T_1$となったとき、丸棒が伸びて壁Bに接触した。$\Delta T_1$の大きさを求めよ。 (2) 基準温度からの温度上昇が$\Delta T$となったとき($\Delta T > \Delta T_1$)、丸棒に生じる応力を求めよ。

1. 問題の内容

長さ$l$、断面積$A$、縦弾性係数$E$、線膨張係数$\alpha$の丸棒が、壁との間に隙間$\lambda$を保って設置されている。基準温度からの温度上昇を$\Delta T$とする。

(1) 基準温度からの温度上昇が$\Delta T_1$となったとき、丸棒が伸びて壁Bに接触した。$\Delta T_1$の大きさを求めよ。

(2) 基準温度からの温度上昇が$\Delta T$となったとき($\Delta T > \Delta T_1$)、丸棒に生じる応力を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 温度上昇によって丸棒が伸び、壁Bに接触するまでの温度上昇$\Delta T_1$を求める。

丸棒の線膨張による伸び$\Delta l$は、

$\Delta l = l \alpha \Delta T_1$

で表される。丸棒が壁Bに接触するとき、この伸びが隙間$\lambda$に等しくなるので、

$l \alpha \Delta T_1 = \lambda$

よって、

$\Delta T_1 = \frac{\lambda}{l \alpha}$

(2) $\Delta T > \Delta T_1$のとき、丸棒は壁に押し付けられ、圧縮される。

温度上昇$\Delta T$による丸棒の伸びを$\Delta l'$とすると、

$\Delta l' = l \alpha \Delta T$

壁Bに接触した後の伸び（圧縮される長さ）を$\delta$とすると、

$\delta = \Delta l' - \lambda = l \alpha \Delta T - \lambda$

丸棒に生じる応力$\sigma$は、ヤング率$E$を用いて、ひずみ$\epsilon$との関係から$\sigma = E \epsilon$で表される。

ひずみ$\epsilon$は、$\epsilon = \frac{\delta}{l}$なので、

$\epsilon = \frac{l \alpha \Delta T - \lambda}{l} = \alpha \Delta T - \frac{\lambda}{l}$

したがって、応力$\sigma$は、

$\sigma = E \epsilon = E (\alpha \Delta T - \frac{\lambda}{l})$

$\Delta T_1 = \frac{\lambda}{l \alpha}$だったので、

$\sigma = E \alpha (\Delta T - \Delta T_1)$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta T_1 = \frac{\lambda}{l \alpha}$

(2) $\sigma = E \alpha (\Delta T - \frac{\lambda}{l}) = E \alpha (\Delta T - \Delta T_1)$