問題は以下の通りです。 6. 基本ベクトル $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ について、次の外積を求めよ。 (a) $(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{j}$ (b) $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{j})$ (c) $(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{i}$ (d) $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{i})$ 7. 次のベクトル関数を微分せよ。また、( )内の $t$ の値における微分係数を求めよ。 (a) $\vec{a}(t) = (t^3, t, e^{2t}),\quad (t = 1)$ (b) $\vec{b}(t) = (2 \cos t, 3 \sin t, t^2), \quad (t = \frac{\pi}{2})$ 8. $\vec{a} = \vec{a}(t)$ は $t$ のベクトル関数、$u = u(t)$ は $t$ の関数とするとき、次の公式が成り立つことを証明せよ。 $(u\vec{a})' = u'\vec{a} + u\vec{a}'$ 9. $\vec{a} = (3t, t - 2, t^2), \vec{b} = (\cos 2t, \sin 2t, 1)$ のとき、次を求めよ。 (a) $\frac{d\vec{a}}{dt}$ (b) $\frac{d\vec{b}}{dt}$ (c) $\left| \frac{d\vec{b}}{dt} \right|$ (d) $\frac{d}{dt} (\vec{a} \cdot \vec{b})$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

6. 基本ベクトル $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ について、次の外積を求めよ。

(a) $(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{j}$

(b) $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{j})$

(c) $(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{i}$

(d) $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{i})$

7. 次のベクトル関数を微分せよ。また、( )内の $t$ の値における微分係数を求めよ。

(a) $\vec{a}(t) = (t^3, t, e^{2t}),\quad (t = 1)$

(b) $\vec{b}(t) = (2 \cos t, 3 \sin t, t^2), \quad (t = \frac{\pi}{2})$

8. $\vec{a} = \vec{a}(t)$ は $t$ のベクトル関数、$u = u(t)$ は $t$ の関数とするとき、次の公式が成り立つことを証明せよ。

$(u\vec{a})' = u'\vec{a} + u\vec{a}'$

9. $\vec{a} = (3t, t - 2, t^2), \vec{b} = (\cos 2t, \sin 2t, 1)$ のとき、次を求めよ。

(a) $\frac{d\vec{a}}{dt}$

(b) $\frac{d\vec{b}}{dt}$

(c) $\left| \frac{d\vec{b}}{dt} \right|$

(d) $\frac{d}{dt} (\vec{a} \cdot \vec{b})$

2. 解き方の手順

6. (a) $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$ なので、 $(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$

(b) $\vec{j} \times \vec{j} = \vec{0}$ なので、 $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{j}) = \vec{i} \times \vec{0} = \vec{0}$

(c) $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$ なので、 $(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{i} = \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

(d) $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$ なので、 $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{i}) = \vec{i} \times (-\vec{k}) = -(\vec{i} \times \vec{k}) = -(-\vec{j}) = \vec{j}$

7. (a) $\vec{a}(t) = (t^3, t, e^{2t})$ を微分すると、

$\frac{d\vec{a}}{dt} = (3t^2, 1, 2e^{2t})$

$t=1$ のとき、$\frac{d\vec{a}}{dt} = (3(1)^2, 1, 2e^{2(1)}) = (3, 1, 2e^2)$

(b) $\vec{b}(t) = (2 \cos t, 3 \sin t, t^2)$ を微分すると、

$\frac{d\vec{b}}{dt} = (-2 \sin t, 3 \cos t, 2t)$

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{d\vec{b}}{dt} = (-2 \sin \frac{\pi}{2}, 3 \cos \frac{\pi}{2}, 2\cdot \frac{\pi}{2}) = (-2(1), 3(0), \pi) = (-2, 0, \pi)$

8. $\vec{a}(t) = (a_1(t), a_2(t), a_3(t))$ とすると、 $u(t)\vec{a}(t) = (u(t)a_1(t), u(t)a_2(t), u(t)a_3(t))$

$\frac{d}{dt}(u(t)\vec{a}(t)) = (u'(t)a_1(t) + u(t)a_1'(t), u'(t)a_2(t) + u(t)a_2'(t), u'(t)a_3(t) + u(t)a_3'(t))$

$= (u'(t)a_1(t), u'(t)a_2(t), u'(t)a_3(t)) + (u(t)a_1'(t), u(t)a_2'(t), u(t)a_3'(t))$

$= u'(t)(a_1(t), a_2(t), a_3(t)) + u(t)(a_1'(t), a_2'(t), a_3'(t))$

$= u'(t)\vec{a}(t) + u(t)\vec{a}'(t)$

9. (a) $\vec{a}(t) = (3t, t - 2, t^2)$ を微分すると、

$\frac{d\vec{a}}{dt} = (3, 1, 2t)$

(b) $\vec{b}(t) = (\cos 2t, \sin 2t, 1)$ を微分すると、

$\frac{d\vec{b}}{dt} = (-2 \sin 2t, 2 \cos 2t, 0)$

(c) $\left| \frac{d\vec{b}}{dt} \right| = \sqrt{(-2 \sin 2t)^2 + (2 \cos 2t)^2 + 0^2} = \sqrt{4 \sin^2 2t + 4 \cos^2 2t} = \sqrt{4 (\sin^2 2t + \cos^2 2t)} = \sqrt{4(1)} = 2$

(d) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3t)(\cos 2t) + (t - 2)(\sin 2t) + (t^2)(1) = 3t \cos 2t + t \sin 2t - 2 \sin 2t + t^2$

$\frac{d}{dt}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \cos 2t - 6t \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t - 4 \cos 2t + 2t = - \cos 2t - 6t \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t + 2t$

$= (-\cos 2t + \sin 2t) + (2t - 6t)\sin 2t + (2t) \cos 2t + 2t = -\cos 2t + \sin 2t - 4t \sin 2t + 2t \cos 2t + 2t$

3. 最終的な答え

6. (a) $-\vec{i}$

(b) $\vec{0}$

(c) $\vec{j}$

(d) $\vec{j}$

7. (a) $\frac{d\vec{a}}{dt} = (3t^2, 1, 2e^{2t})$, $\frac{d\vec{a}}{dt}(1) = (3, 1, 2e^2)$

(b) $\frac{d\vec{b}}{dt} = (-2 \sin t, 3 \cos t, 2t)$, $\frac{d\vec{b}}{dt}(\frac{\pi}{2}) = (-2, 0, \pi)$

8. 証明は上記参照

9. (a) $\frac{d\vec{a}}{dt} = (3, 1, 2t)$

(b) $\frac{d\vec{b}}{dt} = (-2 \sin 2t, 2 \cos 2t, 0)$

(c) $\left| \frac{d\vec{b}}{dt} \right| = 2$

(d) $\frac{d}{dt}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -\cos 2t + \sin 2t - 4t \sin 2t + 2t \cos 2t + 2t$