円に内接する四角形ABCDがあり、辺ABは直線lに接している。$\angle DBA = 30^\circ$, $\angle BDA = 20^\circ$、辺BCと辺BAの長さが等しいとき、$\angle ABC = \alpha$を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、辺ABは直線lに接している。$\angle DBA = 30^\circ$, $\angle BDA = 20^\circ$、辺BCと辺BAの長さが等しいとき、$\angle ABC = \alpha$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAD$を求める。三角形ABDの内角の和は180度なので、

$\angle BAD = 180^\circ - \angle DBA - \angle BDA = 180^\circ - 30^\circ - 20^\circ = 130^\circ$

次に、円に内接する四角形の対角の和は180度であることから、$\angle BCD$を求める。

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

三角形ABCにおいて、辺BCと辺BAの長さが等しいので、三角形ABCは二等辺三角形である。よって、$\angle BAC = \angle BCA$である。$\angle ABC = \alpha$なので、

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle CDA + \angle CBA = 180^\circ$が成り立つ。

$\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA$であり、$\angle CDB = \angle CBA$（円周角の定理）

$\angle CBA = \alpha$, よって、$\angle CDB = \alpha$

よって、$\angle CDA = \alpha + 20^\circ$

$\alpha + 20^\circ + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 160^\circ$

$\alpha = 80^\circ$

直線lは点Aで円に接しているので、接弦定理より$\angle DAB = \angle ACB$。

$\angle DAB = 130^\circ$なので、$\angle ACB = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \angle DAB - \angle DAC = 130^\circ - \angle DAC$

$\angle DAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA$

$180^\circ - \alpha = 2(20^\circ + \angle CAD)$

ここで、接弦定理より$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180-\alpha}{2}$

また、$\angle BCD + \angle BAD = 180$, よって$\angle BCD = 50^{\circ}$

$\angle BCA + \angle ACD = 50$, よって$\angle ACD = 50 - \angle BCA$

ここで、$\angle ACD = \angle ABD = 30$（円周角の定理）

なので、$\angle BCA = 20$

$\angle BCA = \frac{180-\alpha}{2} = 20$

$180 - \alpha = 40$

$\alpha = 140$

3. 最終的な答え

$\alpha = 140^\circ$