直線 $l: y = x + 6$ と直線 $m: y = -x + 10$ があります。 直線 $l$ と $x$ 軸との交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸との交点を B、直線 $l$ と直線 $m$ との交点を C とします。 (1) A, B, C の座標をそれぞれ求めます。 (2) 線分 BC の中点の座標を求めます。 (3) 点 A を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線の式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 6$ と直線 $m: y = -x + 10$ があります。

直線 $l$ と $x$ 軸との交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸との交点を B、直線 $l$ と直線 $m$ との交点を C とします。

(1) A, B, C の座標をそれぞれ求めます。

(2) 線分 BC の中点の座標を求めます。

(3) 点 A を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C の座標を求める

点 A は直線 $l$ と $x$ 軸との交点なので、$y = x + 6$ に $y = 0$ を代入します。

$0 = x + 6$

$x = -6$

よって、A の座標は $(-6, 0)$ です。

点 B は直線 $m$ と $x$ 軸との交点なので、$y = -x + 10$ に $y = 0$ を代入します。

$0 = -x + 10$

$x = 10$

よって、B の座標は $(10, 0)$ です。

点 C は直線 $l$ と直線 $m$ との交点なので、連立方程式を解きます。

$y = x + 6$

$y = -x + 10$

$x + 6 = -x + 10$

$2x = 4$

$x = 2$

$y = 2 + 6 = 8$

よって、C の座標は $(2, 8)$ です。

(2) 線分 BC の中点の座標を求める

B の座標は $(10, 0)$、C の座標は $(2, 8)$ なので、中点の座標は $\left(\frac{10 + 2}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = (6, 4)$ です。

(3) 点 A を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線の式を求める

三角形 ABC の面積を二等分する直線は、辺 BC の中点を通ります。

辺 BC の中点は (2) で求めた $(6, 4)$ です。

点 A の座標は $(-6, 0)$ なので、求める直線は点 $(-6, 0)$ と点 $(6, 4)$ を通ります。

直線の傾きは $\frac{4 - 0}{6 - (-6)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ です。

直線の式を $y = \frac{1}{3}x + b$ とすると、点 $(-6, 0)$ を通るので、

$0 = \frac{1}{3}(-6) + b$

$0 = -2 + b$

$b = 2$

よって、求める直線の式は $y = \frac{1}{3}x + 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) A: $(-6, 0)$, B: $(10, 0)$, C: $(2, 8)$

(2) $(6, 4)$

(3) $y = \frac{1}{3}x + 2$