問題は全部で6問あり、それぞれ図形に関する問いです。 (1) 平行線と線分の比に関する問題 (2) 相似な三角形に関する問題 (3) 正四角錐の体積に関する問題 (4) 二等辺三角形の角の二等分線に関する問題 (5) 円周角に関する問題 (6) 球の体積に関する問題

1. 問題の内容

問題は全部で6問あり、それぞれ図形に関する問いです。

(1) 平行線と線分の比に関する問題

(2) 相似な三角形に関する問題

(3) 正四角錐の体積に関する問題

(4) 二等辺三角形の角の二等分線に関する問題

(5) 円周角に関する問題

(6) 球の体積に関する問題

2. 解き方の手順

(1)

DE // BCより、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似です。

したがって、$AE:AC = DE:BC$が成り立ちます。

$AE = 3$cm, $DE = 2$cm, $CE = 6$cmより、$AC = AE + CE = 3 + 6 = 9$cmです。

$3:9 = 2:BC$より、$BC = \frac{2 \times 9}{3} = 6$cmとなります。

(2)

$\angle ABC = \angle ACD$より、$\triangle ABC$と$\triangle DCA$は相似です。

したがって、$AB:DC = BC:CA = CA:AD$が成り立ちます。

$AB = 6$cm, $BC = 4$cm, $CA = 3$cmです。

$BC:CA = CA:AD$より、$4:3 = 3:AD$なので、$AD = \frac{3 \times 3}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$cmとなります。

(3)

正四角錐の体積は、底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$ で求められます。

底面積は、$4 \times 4 = 16$cm$^2$です。

高さは$3$cmです。

したがって、体積は$16 \times 3 \times \frac{1}{3} = 16$cm$^3$となります。

(4)

$\triangle ABC$は$AB = AC$の二等辺三角形であり、$AD$は$\angle A$の二等分線なので、$AD$は$BC$の垂直二等分線になります。

したがって、$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$cmです。

$\triangle ABD$において、三平方の定理より、$AB^2 = AD^2 + BD^2$が成り立ちます。

$AD = 4$cm, $BD = 3$cmなので、$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$となり、$AB = \sqrt{25} = 5$cmとなります。

(5)

$\angle ABE = 15^\circ$, $\angle BDC = 65^\circ$です。

$\angle BAC = \angle BDC = 65^\circ$ (円周角の定理)です。

$\triangle ABE$において、$\angle AEB = 180^\circ - \angle BAE - \angle ABE = 180^\circ - 65^\circ - 15^\circ = 100^\circ$となります。

(6)

半径$r$の球の体積は$\frac{4}{3} \pi r^3$で求められます。

半径が$3$cmなので、体積は$\frac{4}{3} \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36\pi$cm$^3$となります。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 2.25

(3) 16

(4) 5

(5) 100

(6) 36π