(1) $AB=6cm$, $AC=5cm$ の $\triangle ABC$ がある。辺 $AB$ 上に $AD=3cm$ となる点 $D$ をとり、辺 $AC$ 上に $\angle AED = \angle ABC$ となる点 $E$ をとる。このとき、線分 $AE$ の長さを求める。 (2) $l // m$ であるとき、$\angle x$ の大きさを求める。 (3) 円錐の展開図において、円錐の底面の半径を求める。 (4) 底面の半径が $4cm$、高さが $3cm$ の円柱と、底面の半径が $4cm$、高さが $3cm$ の円錐を合わせた立体の体積を求める。 (5) 体積が $144cm^3$ の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比は $2:1$ であった。上の部分の円錐の体積を求める。

1. 問題の内容

(1) $AB=6cm$, $AC=5cm$ の $\triangle ABC$ がある。辺 $AB$ 上に $AD=3cm$ となる点 $D$ をとり、辺 $AC$ 上に $\angle AED = \angle ABC$ となる点 $E$ をとる。このとき、線分 $AE$ の長さを求める。

(2) $l // m$ であるとき、$\angle x$ の大きさを求める。

(3) 円錐の展開図において、円錐の底面の半径を求める。

(4) 底面の半径が $4cm$、高さが $3cm$ の円柱と、底面の半径が $4cm$、高さが $3cm$ の円錐を合わせた立体の体積を求める。

(5) 体積が $144cm^3$ の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比は $2:1$ であった。上の部分の円錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ADE$ と $\triangle ABC$ について、$\angle A = \angle A$, $\angle AED = \angle ABC$ より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ である。

したがって、$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ が成り立つ。

$AD=3cm$, $AB=6cm$, $AC=5cm$ より、$\frac{3}{6} = \frac{AE}{5}$ となる。

$AE = \frac{3}{6} \times 5 = \frac{5}{2} = 2.5$

(2)

$l // m$ より、錯角は等しいので、$\angle x$ の隣の角は $40^\circ$ となる。

よって、$\angle x = 150^\circ - 40^\circ = 110^\circ$

(3)

円錐の展開図において、扇形の弧の長さは、円錐の底面の円周に等しい。

扇形の弧の長さは $2\pi \times 8 \times \frac{150}{360} = 2\pi \times 8 \times \frac{5}{12} = \frac{20}{3} \pi$

円錐の底面の半径を $r$ とすると、$2\pi r = \frac{20}{3} \pi$

$r = \frac{10}{3}$

(4)

円柱の体積は、$\pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 3 = 48\pi$

円錐の体積は、$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3 = 16\pi$

合計の体積は、$48\pi + 16\pi = 64\pi$

(5)

底面の半径の比が $2:1$ であるから、高さの比も $2:1$ である。

体積比は $(2:1)^3 = 8:1$ である。

全体の円錐の体積は $144cm^3$ なので、上の部分の円錐の体積は $\frac{1}{8} \times 144 = 18$

3. 最終的な答え

(1) 2.5

(2) 110

(3) $\frac{10}{3}$

(4) $64\pi$

(5) 18