与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解します。

まず、式を展開します。

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、式を整理します。$a$ についての降べきの順に整理します。

$a^2b - ca^2 - ab^2 + c^2a + b^2c - bc^2 = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - bc^2)$

さらに整理します。

$(b-c)a^2 + (c-b)(c+b)a + bc(b-c) = (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくり出すことができます。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

$a^2 - (b+c)a + bc$ の部分を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、元の式は

$(b-c)(a-b)(a-c)$ と因数分解できます。

符号を整理すると、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$