図の(1),(2),(3)において、$x$ の値を求めよ。ただし、Oは円の中心である。(3)では、直線PTは円の接線で、Tは接点である。

1. 問題の内容

図の(1),(2),(3)において、$x$ の値を求めよ。ただし、Oは円の中心である。(3)では、直線PTは円の接線で、Tは接点である。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心Oから弦に垂線を引くと、弦は二等分される。したがって、$x+3$ は円の半径であり、$x+1+1 = x+2$ も円の半径である。

よって、$x+3 = x+2 +1$ 。また、半径が$x+3$であることから、$1 \times 5 = x \times x+3$。

これから、$5 = x^2+3x$。

$x^2+3x-5 = 0$ を解くと、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$

$x>0$であることから、$x = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2}$

(2)

方べきの定理より、$2 \times 6 = (x-3)(x+3)$。これから、$12 = x^2 - 9$。

$x^2 = 21$。

$x>0$であるから、$x = \sqrt{21}$

(3)

方べきの定理より、$8^2 = x(x+6)$。これから、$64 = x^2 + 6x$。

$x^2 + 6x - 64 = 0$ を解くと、$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36+256}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{292}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{73}}{2} = -3 \pm \sqrt{73}$

$x>0$であるから、$x = -3 + \sqrt{73}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2}$

(2) $x = \sqrt{21}$

(3) $x = -3 + \sqrt{73}$

(1) $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$

(2) $\sqrt{21}$

(3) $-3+\sqrt{73}$

問題文の画像には、(1)の答えが2、(2)の答えが$\sqrt{21}$、(3)の答えが4と書いてありますが、どれも正しくありません。