13で割ると3余り、7で割ると4余る自然数のうち、3桁の自然数の最大のものと最小のものを求める問題です。

1. 問題の内容

13で割ると3余り、7で割ると4余る自然数のうち、3桁の自然数の最大のものと最小のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、条件を満たす自然数を $x$ とします。

すると、

$x \equiv 3 \pmod{13}$

$x \equiv 4 \pmod{7}$

と表せます。

1つ目の式より、$x = 13k + 3$ （$k$は整数）と書けます。

これを2つ目の式に代入すると、

$13k + 3 \equiv 4 \pmod{7}$

$13k \equiv 1 \pmod{7}$

$6k \equiv 1 \pmod{7}$

$6k \equiv 8 \pmod{7}$

$3k \equiv 4 \pmod{7}$

$3k \equiv 11 \pmod{7}$

$3k \equiv 18 \pmod{7}$

$k \equiv 6 \pmod{7}$

したがって、$k = 7l + 6$ （$l$は整数）と書けます。

これを$x = 13k + 3$ に代入すると、

$x = 13(7l + 6) + 3 = 91l + 78 + 3 = 91l + 81$

よって、$x = 91l + 81$ と表されます。

次に、3桁の自然数であるという条件を考慮します。

最小の3桁の自然数は100、最大の3桁の自然数は999です。

$100 \le 91l + 81 \le 999$

$19 \le 91l \le 918$

$19/91 \le l \le 918/91$

$0.208 \le l \le 10.087$

$l$は整数なので、$1 \le l \le 10$ です。

最小の$x$を求めるには、$l = 1$ を代入します。

$x = 91(1) + 81 = 172$

最大の$x$を求めるには、$l = 10$ を代入します。

$x = 91(10) + 81 = 910 + 81 = 991$

3. 最終的な答え

最小の値：$172$

最大の値：$991$